מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות ${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3$ (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

$(i\hslash {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-mc)\psi =0$

כאשר $\mu =0,1,2,3$ ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות

הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),{\gamma }^1=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^x\\ -{\sigma }^x& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^y\\ -{\sigma }^y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^z\\ -{\sigma }^z& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

כאשר ${\sigma }^k$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=\frac{-i}{4!}{ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right)$

הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

${\gamma }^1=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^x\\ -{\sigma }^x& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right),$
${\gamma }^3=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^z\\ -{\sigma }^z& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^y\\ -{\sigma }^y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),$

כאשר ${\sigma }^k$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=\frac{-i}{4!}{ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}-I& 0\\ 0& I\end{array}\right)$

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

:${\psi }_L=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\psi =\frac{I-{\gamma }^5}{2}\psi ,{\psi }_R=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& I\end{array}\right)\psi =\frac{I+{\gamma }^5}{2}\psi$

הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^2\\ {\sigma }^2& 0\end{array}\right),{\gamma }^1=\left(\begin{array}{cc}i{\sigma }^3& 0\\ 0& i{\sigma }^3\end{array}\right)$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& -{\sigma }^2\\ {\sigma }^2& 0\end{array}\right),{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cc}-i{\sigma }^1& 0\\ 0& -i{\sigma }^1\end{array}\right),{\gamma }^5=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^2& 0\\ 0& -{\sigma }^2\end{array}\right)$

תכונות

זהויות בסיסיות

• מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:

  $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }{I}_{4\times 4}$

כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-$\eta$ היא מטריקת מינקובסקי ${\eta }^{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)$.

בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל $\mu \ne \nu$ מתקיים ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }$

• מכאן נובע ש:
  • $({\gamma }^0{)}^2=I_{4\times 4}$
  • $({\gamma }^k{)}^2=-I_{4\times 4}$ כאשר k=1,2,3.
• ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
  • ${\left({\gamma }^0\right)}^{†}={\gamma }^0$
  • ${\left({\gamma }^k\right)}^{†}=-{\gamma }^k$ כאשר k=1,2,3.

• מטריצת הכיראליות ${\gamma }^5$ מקיימת:
  • $({\gamma }^5{)}^{†}={\gamma }^5$
  • $({\gamma }^5{)}^2=I_{4\times 4}$
  • $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^5\}=0$, כלומר: ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^5=-{\gamma }^5{\gamma }^{\mu }$
• מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה

Num	Identity
1	${\gamma }^{\mu }{\gamma }_{\mu }=4I$
2	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }_{\mu }=-2{\gamma }^{\nu }$
3	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }_{\mu }=4{\eta }^{\nu \rho }I$
4	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }_{\mu }=-2{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\nu }$

זהויות עקבה

Num	Identity
1	העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות ${\gamma }^{\mu }$ היא אפס.
2	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu })=4{\eta }^{\mu \nu }$
3	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma })=4({\eta }^{\mu \nu }{\eta }^{\rho \sigma }-{\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }+{\eta }^{\mu \sigma }{\eta }^{\nu \rho })$
4	$\mathrm{tr}({\gamma }^5)=\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^5)=0$
5	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^5)=-4i{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }$

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

• ליניאריות: $\mathrm{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathrm{tr}(A)+\beta \mathrm{tr}(B)$
• ציקליות: $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CAB)=\mathrm{tr}(BCA)$

יוצרים של חבורת לורנץ

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

$S^{\mu \nu }=\frac{i}{4}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

$S^{ij}=\frac{i}{4}[{\gamma }^0,{\gamma }^k]=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^k& 0\\ 0& -{\sigma }^k\end{array}\right)$

והסיבובים נתונים על ידי

$S^{ij}=\frac{i}{4}[{\gamma }^i,{\gamma }^j]=\frac{1}{2}{ϵ}^{ijk}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^k& 0\\ 0& {\sigma }^k\end{array}\right)=\frac{1}{2}{ϵ}^{ijk}{\mathrm{\Sigma }}^k$

לקריאה נוספת

• Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld