מיפוי קטבים ואפסים

הקטבים והאפסים במישור ה-S של מסנן צ'בישב מעביר נמוכים מסוג II מסדר 5, שיוערכו כמסנן זמן בדיד

קטבים ואפסים במישור z של מסנן צ'בישב בזמן הבדיד, כפי שהם ממופים למישור Z תוך שימוש בשיטת התמרת Z מותאמת עם T = 1/10 שנייה. נקודות התדר המסומנות והקווים המקווקוים של קצה הפס מופו באמצעות הפונקציה z=e ^{i ω T}, כדי להראות כיצד התדרים לאורך ציר iω במישור ה-s ממופים אל מעגל היחידה במישור z-.

שיטת התמרת Z מותאמת, הנקראת גם מיפוי קטבים ואפסיםתבנית:הערהתבנית:הערה או שיטת התאמת קטבים ואפסים,תבנית:הערה ובקיצור MPZ או MZT,תבנית:הערה היא טכניקה נפוצה להמרת עיצוב מסנן בזמן רציף לעיצוב מסנן בזמן בדיד (מסנן ספרתי).

השיטה פועלת על ידי מיפוי כל הקטבים והאפסים של התמרת לפלס למיקומים במישור z $z=e^{sT}$, עבור מרווח דגימה $T=1/f_{\mathrm{s}}$.תבנית:הערה עבור מסנן אנלוגי עם פונקציית תמסורת:

$H(s)=k_{\mathrm{a}}\frac{\prod _{i=1}^M(s-{\xi }_i)}{\prod _{i=1}^N(s-p_i)}$

מותמר לפונקציית תמסורת:

$H(z)=k_{\mathrm{d}}\frac{\prod _{i=1}^M(1-e^{{\xi }_{i}T}{z}^{-1})}{\prod _{i=1}^N(1-e^{p_{i}T}{z}^{-1})}$

מכיוון שהמיפוי כורך את מישור ה-s $j\omega$ ציר מסביב למעגל היחידה של מישור z שוב ושוב, כל אפסים (או קטבים) הגדולים מתדר נייקוויסט ימופו למיקום בעל אליאס.תבנית:הערה

במקרה הנפוץ של פונקציית התמסורת האנלוגית בעלת יותר קטבים מאפסים, האפסים ב $s=\mathrm{\infty }$ ניתן להזיז באופן אופציונלי למטה לתדר נייקוויסט על ידי הצבתם ב־$z=-1$, מה שגורם לפונקציית התמסורת לרדת כ־$z\to -1$ באופן כמעט זהה להעתקה הביליניארית (BLT).תבנית:הערהתבנית:הערהתבנית:הערה

בעוד שההעתקה הזו משמרת את היציבות ואת המופע המינימלי, היא לא שומרת על תגובת זמן או תחום תדר ולכן לא נעשה בה שימוש נרחב.תבנית:הערהתבנית:הערה שיטות נפוצות יותר כוללות את שיטות ה-BLT ואינווריאנטיות הלם.תבנית:הערה עם זאת, MZT מספק פחות שגיאת תגובה בתדר גבוה מאשר ה-BLT, מה שמקל על התיקון על ידי הוספת אפסים נוספים, הנקרא MZTi (עבור "משופר").תבנית:הערה

יישום ספציפי של שיטת התמרת Z מותאמת בתחום הבקרה הדיגיטלית היא עם הנוסחה של אקרמן (Ackermann), אשר משנה את הקטבים של המערכת הניתנת לשליטה; באופן כללי ממיקום לא יציב (או קרוב) למקום יציב.

תגובות המסנן (מקווקו), וקירוב הזמן הבדיד שלו (מוצק), עבור תדר חיתוך נומינלי של 1 הרץ, קצב דגימה 1/T = 10 הרץ. מסנן הזמן הבדיד אינו משחזר את תכונת האקוויריפל של צ'בישב (Chebyshev equiripple) בפס העצירה עקב הפרעה מהעתקים מחזוריים של התגובה.