ממוצע זהותי

במתמטיקה, ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים.

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים $a$ ו-$b$, הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות:

$I(a,b):=\exp (\frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}-1)=\frac{1}{e}\sqrt[a-b]{\frac{a^a}{b^b}}$

כאשר $a=b$ מגדירים $I(a,b):=a=b$

מוטיבציה

משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to ℝ$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, אזי קיים $a<c<b$ כך ש:

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

אם הנגזרת $f^{\prime }$ היא פונקציה חד-חד-ערכית, $c$ זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של $a$ ו-$b$ לפי הפונקציה $f$.

הממוצע הזהותי מתקבל מקביעת $f(x)=x\ln x$.

תכונות

סימטריות

הממוצע הזהותי הוא סימטרי:

$I(a,b)=\exp (\frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}-1)=\exp (\frac{b\ln b-a\ln a}{b-a}-1)=I(b,a)$

מונוטוניות

ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן $a_1\le a_2$ ו-$b_1\le b_2$ ניתן להוכיח כי $I(a_1,b_1)\le I(a_2,b_2)$

הומוגניות

הממוצע הזהותי הוא הומוגני. כלומר, לכל $a$ ו-$b$ ולכל מקדם $\alpha >0$:

$\begin{array}{c}I(\alpha a,\alpha b)=\exp (\frac{\alpha a\ln (\alpha a)-\alpha b\ln (\alpha b)}{\alpha a-\alpha b}-1)\\ =\exp (\frac{a\ln (\alpha a)-b\ln (\alpha b)}{a-b}-1)\\ =\exp (\frac{a\ln a+a\ln \alpha -b\ln b-b\ln \alpha }{a-b}-1)\\ =\exp (\frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}+\ln \alpha -1)\\ =\alpha \exp (\frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}-1)\\ =\alpha I(a,b)\end{array}$

רציפות

הממוצע הזהותי $I(x,y)$ הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן $x\ne y$ הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם. עבור הנקודות שבהן $x=y$ ניתן להיעזר בגבול:

$\underset{x\to y}{lim}\frac{x\ln x-y\ln y}{x-y}=\ln y+1$

כדי לקבל ש:

$\underset{x\to y}{lim}I(x,y)=\underset{x\to y}{lim}\exp (\frac{x\ln x-y\ln y}{x-y}-1)=\exp (\ln y+1-1)=y=I(y,y)$

קשר לממוצע סטולרסקי

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים $a$ ו-$b$ ומספר ממשי $p\ne 0,1$, ממוצע סטולרסקי מחזקה $p$ מוגדר להיות:

$S_p(a,b):=\{\begin{array}{cc}a& \text{if }a=b\\ {\left(\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)}^{\frac{1}{p-1}}& \text{otherwise}\end{array}$

ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור $p=1$, מתקיים:

$\underset{p\to 1}{lim}{S}_p(a,b)=I(a,b)$

מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld