מספר מחומש

ששת המספרים המחומשים הראשונים (המספר המחומש הוא מספר הנקודות הכחולות)

בתורת המספרים, מספר טבעי p הוא מספר מחומש אם אפשר לסדר p עצמים בצורת סדרה של מחומשים משוכללים בעלי קודקוד משותף. זהו מספר מצולע מסדר 5, בדומה למספר משולשי (סדר 3) ומספר ריבועי (סדר 4).

לפי הנוסחה הכללית למספר מצולע, המספר המחומש ה-n הוא:

$p_n=\frac{3n^2-n}{2}$

20 המספרים המחומשים הראשונים הם: תבנית:משמאל לימין (תבנית:OEIS).

אם מתירים גם n שאינם חיוביים מקבלים את סדרת המספרים המחומשים המוכללים.

20 המספרים המחומשים המוכללים הראשונים הם: תבנית:משמאל לימין (תבנית:OEIS).

לפי משפט המספרים המצולעים כל מספר טבעי הוא סכום של חמישה מספרים מחומשים (כולל 0). יש רק שישה מספרים טבעיים שאינם סכום של ארבעה מספרים מחומשים: 9, 21, 31, 43, 55, ו-89 (תבנית:OEIS). משערים שיש רק 210 מספרים טבעיים שאינם סכום של שלושה מספרים מחומשים

חשיבותם של מספרים מחומשים נובעת ממשפט המספרים המחומשים שהוכיח לאונרד אוילר:

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^k)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{x}^{p_n}$

מהמשפט נובע הקשר של מספרים אלו לפונקציית החלוקה:

$p(n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}(-1{)}^{k-1}\cdot p(n-p_k)$

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld