מספר p-אדי

תבנית:סימון מתמטי בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני $p$, שהוא סופי בצד החזקות השליליות $p^{-N}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר $p$, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

$a_{-N}{p}^{-N}+\cdots +a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$

עשויים המקדמים $a_{-N},\dots ,a_0,a_1,a_2,\dots$ להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח $0\le a_i\le p-1$, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים $a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$, שבהם אין חזקות שליליות של $p$.

מרחק בין שני מספרים

בין מספרים ה-p-אדיים $a,b$ מגדירים מרחק לפי חזקת $p$ הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם $a=a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$ אזי $|a{|}_p=p^{-k}$, כאשר $k=\min \{n\in \mathbb{N}:a_n\ne 0\}$. כמו כן מגדירים $|0{|}_p=0$. המטריקה היא $d(a,b)=|a-b{|}_p$.

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים $a_n{p}^n$ הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה $1,p,p^2,\dots$ שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה $1,p^{-1},p^{-2},\dots$ היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי

לפי ההגדרה, המקדמים $0\le a_i\le p-1$ בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי $p=3$ ונתבונן במספר

$\dots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots$

נחבר לו את המספר 1, ונקבל

$\begin{array}{c}\dots \stackrel{1}{2}\stackrel{1}{2}\stackrel{}{2}\\ {}^{+}\dots 001\\ \dots 000\end{array}$

שכן $1+2=3$ ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם $1+2=3$ ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

$\dots 222+1=0$

ולכן $-1=\dots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots$

במקרה הכללי מתקיים כי $-1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(p-1)p^n$. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של $p=3$ אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של $p$ מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן $a_0=p-1,q=p$ ולכן

$S=\frac{a_0}{1-q}=\frac{p-1}{1-p}=-1$

כעת, כל מספר שלילי $m$ ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של $|m|$ בהצגה ה-p-אדית של $-1$.

הצגת מספר רציונלי

כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים,

$\frac{2}{3}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^2+1\cdot 5^3+3\cdot 5^4+\cdots$

אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור $S=1+5^2+5^4+5^6+\cdots$ מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים $S=\frac{1}{1-5^2}=-\frac{1}{24}$. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- $4+5\cdot S+3\cdot 5^2\cdot S=4-\frac{80}{24}=\frac{2}{3}$.

השבר המצומצם $\frac{a}{b}$ הוא שלם p-אדי, אם ורק אם $p$ אינו מחלק את המכנה $b$. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,

$\sqrt{7}=1+3+3^2+2\cdot 3^4+2\cdot 3^7+3^8+\cdots$

(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר $p\ne 2$, ו-$a$ הוא מספר שלם זר ל-$p$ ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל-$a$ שורש p-אדי אם ורק אם $a$ הוא שארית ריבועית מודולו $p$. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי $1-p^3$ תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

$x=(\dots ,x_n,\dots ,x_1)=(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

כך שלכל $n\ge 1$ מתקיים $x_n\in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו $p$). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים $\mathrm{\forall }n\le m:x_n=x_m\text{mod}{p}^n$
• או באופן שקול, המעבר מ-$x_n$ ל-$x_{n-1}$ נעשה על ידי $x+p^n\mapsto x+p^{n-1}$.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור $p$ ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים ${\mathbb{Z}}_p$. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: $x+y=(\dots ,x_n,\dots ,x_1)+(\dots ,y_n,\dots ,y_1)=(\dots ,x_n+y_n,\dots ,x_1+y_1)$
• כפל: $x\cdot y=(\dots ,x_n,\dots ,x_1)\cdot (\dots ,y_n,\dots ,y_1)=(\dots ,x_n{y}_n,\dots ,x_1{y}_1)$

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: $x_n+y_n,x_n\cdot y_n\in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$). תבנית:ש זהו חוג עם אפס $0=(\dots ,0,0,0)$ ויחידה $1=(\dots ,1,1,1)$. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן ${\mathbb{Q}}_p$.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

$(\dots ,x_n,\dots ,x_1)=a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

$x_{n+1}=\sum _{k=0}^n{a}_k{p}^k$

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

$\begin{array}{ccc}{a}_0& =& x_1\\ a_1& =& \frac{x_2-x_1}{p}\\ a_2& =& \frac{x_3-x_2}{p^2}\\ a_3& =& \frac{x_4-x_3}{p^3}\\ & ⋮& \\ a_n& =& \frac{x_{n+1}-x_n}{p^n}\\ & ⋮& \end{array}$

או בנוסחה מפורשת:

$a_n=\frac{x_{n+1}-x_n}{p^n}=x_{n+1}\text{div}{p}^n$

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל $8\text{div}3=(2+3\cdot 2)\text{div}3=2$).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-${\mathbb{Z}}_p$, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר $p^n$. אוסף ההעתקות הרציפות מ-${\mathbb{Z}}_p$ למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה $\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{p}^{-n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$.

ראו גם

• שדה המספרים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים

• תבנית:אנציקלופדיה למתמטיקה
• תבנית:איגרת
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
• תבנית:MathWorld