משפט בוהר-מולרופ

באנליזה מתמטית, משפט בוהר מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא באמצעות משוואה פונקציונלית. המשפט קרוי על שם הארלד בוהר ויוהאנס מולרופ תבנית:אנ שהוכיחו אותו.

לפי המשפט, פונקציית גמא היא הפונקציה הלוג-קמורה היחידה שמקיימת $f(x+1)=xf(x)$ לכל x>0 וכן מקיימת $f(1)=1$.

הוכחה

ראשית נבחין שמתקיים $\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt=1$. כמו כן מאינטגרציה בחלקים נקבל כי $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ .

על מנת להראות שפונקציית גאמא היא לוג קמורה נקבע קבועים $0<\delta <\mathrm{\Delta }$. מאי שוויון קושי שוורץ נקבל:

${(\underset{\delta }{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}{t}^{\frac{x+y-2}{2}}{e}^{-t}dt)}^2={(\underset{\delta }{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}(t^{\frac{x-1}{2}}{e}^{\frac{-t}{2}})(t^{\frac{y-1}{2}}{e}^{\frac{-t}{2}})dt)}^2\le \underset{\delta }{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\underset{\delta }{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}{t}^{y-1}{e}^{-t}dt$

כאשר נשאיף בנוסחה $\delta \to 0,\mathrm{\Delta }\to \mathrm{\infty }$נקבל ${\mathrm{\Gamma }}^2(\frac{x+y}{2})\le \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)$.

נוציא לוג ונקבל כי $\ln (\mathrm{\Gamma }(\frac{x+y}{2}))\le \frac{1}{2}\ln (\mathrm{\Gamma }(x))+\frac{1}{2}\ln (\mathrm{\Gamma }(y))$ וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.

בכיוון השני, תהי f פונקציה המקיימת את הדרישות של המשפט. נוכיח שהיא יחידה.

מהדרישה $f(x+1)=xf(x)$ נקבל באינדוקציה כי $f(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)$. בפרט לכל n טבעי נקבל $f(n)=(n-1)!$ (כי נתון ש-$f(1)=1$).

נסמן ב $S(x,y)$את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות $(x,\ln (f(x))),(y,\ln (f(y)))$. לפי ההנחה f לוג קמורה, ולכן S היא עולה בכל אחד משני המשתנים עבור x<y. לכן לכל $0<x\le 1$ ולכל n מס טבעי נקבל:

$S(n-1,n)\le S(n,n+x)\le S(n,n+1)$.

$\frac{\ln (f(n))-\ln (f(n-1))}{n-(n-1)}\le \frac{\ln (f(n))-\ln (f(n+x))}{n-(n+x)}\le \frac{\ln (f(n))-\ln (f(n+1))}{n-(n+1)}$

נציב את הערך של f למספרים טבעיים:

$\frac{\ln ((n-1)!)-\ln ((n-2)!)}{1}\le \frac{\ln (f(n+x))-\ln ((n-1)!)}{x}\le \frac{\ln ((n)!)-\ln ((n-1)!)}{1}$

לאחר חישוב מקבלים:

$\ln ({(n-1)}^x(n-1)!)\le \ln (f(n+x))\le \ln (n^x(n-1)!)$

ln היא פונקציה עולה לכן נוכל לבצע אקספוננט ולקבל:

${(n-1)}^x(n-1)!\le f(n+x)\le n^x(n-1)!$

נציב את הביטוי שקיבלנו עבור $f(n+x)$ונקבל:

${(n-1)}^x(n-1)!\le (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)\le n^x(n-1)!$

$\frac{{(n-1)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}\le f(x)\le \frac{n^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}$

$\frac{{(n-1)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}\le f(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}(\frac{x+n}{n})$

נשים לב כעת ששני האי שוויונים נכונים לכל ערך של n. בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן אם נחליף באי שוויון השמאלי את n ב n+1 האי שוויונות יישארו נכונים ונקבל:

$\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}\le f(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}(\frac{x+n}{n})$

נשאיף את n לאינסוף. מתקיים $\frac{x+n}{n}\to 1$ולכן הגבול של $\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}$ חסום משני הצדדים על ידי סדרה ששואפת ל $f(x)$ וממשפט הסנדוויץ' מתכנס אליו.

הואיל והגבול הוא יחיד, f מוגדרת ביחידות לכל $0<x\le 1$. אבל מהדרישה $f(x+1)=xf(x)$רואים שאפשר להרחיב את f באופן יחיד לכל x>1. לכן יש f יחידה כזאת ונסיים.

תוצאות נוספות

המתמטיקאי Wielandtתבנית:הערה הוכיח כי פונקציית גאמא היא הפונקציה ההולומורפית בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים חסימות ברצועה $1\le \mathrm{\Re }(z)<2$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:אנציקלופדיה למתמטיקה
• מספר הוכחות ללוג קמירות של פונקציית גאמא באתר ProofWiki: