משפט המיפוי הרציף

משפט המיפוי הרציף בתורת ההסתברות קובע שפונקציה רציפה משמרת גבול של סדרת משתנים מקריים. המשפט הוכח על ידי הנרי מן ואברהם ולד ב-1943 ולכן לעיתים נקרא גם משפט מן-ולד.

נוסח המשפט

נתונים משתנים מקריים {X_n} ו- X המוגדרים על מרחב מטרי S. נתונה פונקציה רציפה g: S→U כאשר גם U הוא מרחב מטרי. כמו כן נתון כי Pr[X ∈ D_g] = 0 כאשר  D_g הוא קבוצת הנקודות אי הרציפות של הפונקציה g. בתנאים אלו,

$\begin{array}{cc}{X}_n\stackrel{\text{d}}{\to }X& \Rightarrow g(X_n)\stackrel{\text{d}}{\to }g(X)\\ X_n\stackrel{\text{p}}{\to }X& \Rightarrow g(X_n)\stackrel{\text{p}}{\to }g(X)\\ X_n\stackrel{\text{a.s.}}{\to }X& \Rightarrow g(X_n)\stackrel{\text{a.s.}}{\to }g(X)\end{array}$

כאשר "p","d" ו-".a.s" הם מסמנים התכנסות בהסתברות, התכנסות בהתפלגות והתכנסות כמעט בוודאות בהתאמה. תבנית:קצרמר