משפט הערך ההתחלתי

באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.תבנית:הערה

ניסוח פורמלי

תהי $F(s)$ התמרת לפלס של פונקציה ממשית $f(t)$, כלומר $F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$. אם $f$ חסומה בתחום הפתוח $(0,\mathrm{\infty })$ והגבול $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)$ קיים, אזי מתקיים $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$.תבנית:הערה

הוכחה

$f(t)$ חסומה והגבול $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)$ קיים, כלומר $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\alpha$. באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל $0<t$ ש־$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(\frac{t}{s}\right)=\alpha$תבנית:הערה וכן ש־$sF(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(\frac{t}{s}\right)e^{-t}dt$.תבנית:הערה

נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:

$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(\frac{t}{s}\right)e^{-t}dt$

הפונקציות $f\left(\frac{t}{s}\right)e^{-t}$ חסומות כולן על ידי הפונקציה $M{e}^{-t}$ (עבור $M$ גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן $(0,\mathrm{\infty })$. בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה $\alpha e^{-t}$. על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:

$\begin{array}{cc}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)& =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(\frac{t}{s}\right)e^{-t}dt=\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(\frac{t}{s}\right)e^{-t}dt\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha e^{-t}dt=\alpha \end{array}$

ולכן:

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$

מ.ש.ל

$◼$

ראו גם

• משפט הערך הסופי