משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.

ניסוח

תהי $f\in C^1(U,{ℝ}^n)$ (גזירה ברציפות) כאשר $U\subseteq {ℝ}^n$ פתוחה ותהי נקודה $𝐚\in U$. נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים $det{\mathrm{J}}_f(𝐚)\ne 0$ (כלומר הדיפרנציאל בה, $\mathrm{D}f(𝐚)$, הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה $𝐚\in V\subseteq U$ כך ש-$W=f(V)$ אף היא פתוחה, והפונקציה $f:V\to W$ חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית $f^{-1}:W\to V$ אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות $W$ מתקבל על ידי

$\mathrm{D}{f}^{-1}(𝐲)=[\mathrm{D}f(𝐱){]}^{-1}$

לכל $𝐱\in V$, כאשר $𝐲=f(𝐱)$ (צורות רישום נוספות: $\mathrm{D}{f}^{-1}(𝐲)=[\mathrm{D}f(f^{-1}(𝐲)){]}^{-1}$ או $\mathrm{D}{f}^{-1}(f(𝐱))=[\mathrm{D}f(𝐱){]}^{-1}$).תבנית:הערהתבנית:הערה

דוגמה

תהי הפונקציה $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ המוגדרת על ידי $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$. פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור $2\pi$ של ערכי $y$. עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם

${\mathrm{J}}_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right)$

ואזי היעקוביאן הוא $det{\mathrm{J}}_f(x,y)=e^{2x}\ne 0$. מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.

ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת $f(z)=e^z$ ולכל סביבה של נקודה קיים ענף תבנית:אנ של פונקציית הלוגריתם המרוכבת $g(w)=\log w$ המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: $e^{z+i2\pi k}=e^z$ לכל $k\in \mathbb{Z}$).

מקרה פרטי

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו $n=1$: תהי $f:U\to ℝ$ גזירה ברציפות. תהי $a\in U$ נקודה המקיימת $f^{\prime }(a)\ne 0$.

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת $\delta >0$ כך שלכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ ,$f^{\prime }(x)\ne 0$.

נניח כי $f^{\prime }(a)>0$ אז מהיות $f^{\prime }$ רציפה, לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, $f^{\prime }(x)>0$ שהרי אחרת היה קיים $x_0\in (a-\delta ,a+\delta )$ עבורו $f^{\prime }(x_0)=0$ ממשפט ערך הביניים.

לכן $f$ מונוטונית עולה ממש בכל $(a-\delta ,a+\delta )$, מה שגורר כי $f$ חד-חד-ערכית בכל $(a-\delta ,a+\delta )$. מכאן ניתן להגדיר $f^{-1}:f((a-\delta ,a+\delta ))\to (a-\delta ,a+\delta )$ הגזירה בכל נקודה פנימית ב-$y_0\in f(a-\delta ,a+\delta )$ (נסמן $y_0=f(x_0)$), שכן ניתן לחשב ולקבל כי

$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\underset{y\to y_0}{lim}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\underset{y\to y_0}{lim}\frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$

כלומר

${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$

(אכן $f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )$ ובקטע זה הנגזרת של $f$ שונה מ-$0$).

קישורים חיצוניים

• תבנית:לא מדויק
• תבנית:MathWorld