משפט השאריות

באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן. משפט זה הוא הכללה של משפט האינטגרל של קושי־גורסה ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעיתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.

ניסוח פורמלי

יהי $D$ תחום פשוט קשר ויהיו $a_1,...,a_n$ אוסף סופי של נקודות ב-$D$. יהא $D^{*}=D-\{a_1,...,a_n\}$ ותהי $f$ פונקציה הולומורפית ב-$D^{*}$. תהא $\gamma$ מסילה סגורה ב-$D^{*}$ כך שכל הנקודות $a_1,...,a_n$ מוקפות על ידה.

השארית של הפונקציה $f$ בנקודה $a_k$ היא המקדם של החזקה $(z-a_k{)}^{-1}$ בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה $a_k$. נסמן אותה $\mathrm{Res}(f,a_k)$.

כמו כן נסמן ב-$\mathrm{I}(\gamma ,a_k)$ את מספר הפעמים שבו המסילה $\gamma$ מקיפה את הנקודה $a_k$ (האינדקס של המסילה).

אז מתקיים: ${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{i=1}^n\mathrm{I}(\gamma ,a_i)\cdot \mathrm{Res}(f,a_i)$

כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל-$2\pi i$ כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.

חישוב שאריות

קוטב פשוט

בקוטב פשוט (קוטב מסדר 1) $z_0$, השארית של $f$ נתונה על ידי ${\mathrm{Res}}_{z=z_0}f(z)=\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0)f(z)$.

אם הגבול הזה לא קיים, זוהי נקודת סינגולריות עיקרית. אם הגבול קיים ושווה 0 אז $f$ אנליטית בנקודה או שזוהי נקודת סינגולריות סליקה. אם הגבול קיים אך אינסופי אז הנקודה היא קוטב מסדר גבוה מ־1.

אם ניתן לכתוב את הפונקציה $f$ כמנה של שתי פונקציות, $f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$, כאשר $p$ ו־$q$ הן פונקציות הולומורפיות בסביבה של $z_0$, ו־$q(z_0)=0$ ו־$q^{\prime }(z_0)\ne 0$, ניתן להראות באמצעות כלל לופיטל שמתקיים:

${\mathrm{Res}}_{z=z_0}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q^{\prime }(z_0)}$

הוכחה:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{Res}}_{z=z_0}f(z)& =\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0)f(z)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{zp(z)-z_{0}p(z)}{q(z)}\\ & =\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{p(z)+z{p}^{\prime }(z)-z_0{p}^{\prime }(z)}{q^{\prime }(z)}=\frac{p(z_0)}{q^{\prime }(z_0)}\end{array}$

קוטב מסדר n

באופן כללי יותר, אם $z_0$ הוא קוטב מסדר $n$, אזי ניתן למצוא את השארית של $f(z)$ סביב הנקודה $z=z_0$ על ידי הנוסחה:

${\mathrm{Res}}_{z=z_0}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}((z-z_0{)}^{n}f(z))$

דוגמה

נרצה לחשב את האינטגרל הבא: ${\oint }_{|z|=2}\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}dz$

נשים לב כי בתוך המעגל $\{z:\left|z\right|=2\}$ נקודת הסינגולריות היחידה של $f(z)=\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}$ היא $z=1$.

לכן, לפי משפט השאריות: ${\oint }_{|z|=2}\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}dz={\oint }_{|z|=2}f(z)dz=2\pi iRes(f,1)$

נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.

ידוע לנו: $e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$. לכן: $e^{\frac{1}{z-1}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}$

נחזור לפונקציה המקורית שלנו:

$f(z)=\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}=\frac{(z-1+1)}{(z-1{)}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}=\frac{(z-1)}{(z-1{)}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}+\frac{1}{(z-1{)}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}=$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n-1}}{n!}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n-2}}{n!}$

כמו שנכתב לעיל, השארית היא המקדם של האיבר $(z-1{)}^{-1}$ בטור לורן ולכן נקבל ש: $Res(f,1)=1$.

לכן מתקיים ש: ${\oint }_{|z|=2}\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}dz={\oint }_{|z|=2}f(z)dz=2\pi i$

הוכחה

על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי ${\oint }_{|z-a_k|=r}f(z)dz=2\pi i\cdot \mathrm{Res}(f,a_k)$ כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה $a_k$ כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.

מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה $a_k$, ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a_k{)}^n$. מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים ${\oint }_{|z-a_k|=r}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a_k{)}^{n}dz=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz$

כעת, עבור $n\ge 0$ הפונקציה $(z-a_k{)}^n$ אנליטית בכל העיגול $|z-a_k|\le r$, ולכן על פי משפט אינטגרל קושי, ${\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz=0$.

עבור $n<-1$ מתקיים גם כן ${\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz=0$ ואילו עבור $n=-1$ מתקיים ${\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz=2\pi i$. את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.

מכל אלו נובע כי ${\oint }_{|z-a_k|=r}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a_k{)}^{n}dz=c_{-1}{\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{-1}dz=2\pi i\cdot \mathrm{Res}(f,a_k)$ כמבוקש.

שימושים בחישוב אינטגרלים ממשיים

באמצעות המשפט ניתן לחשב אינטגרלים של פונקציות ממשיות, שיכולים להיות קשים לחישוב בכלים של אנליזה ממשית.

אינטגרל מוכלל בכל הישר הממשי של פונקציה רציונלית

אם $f(x),g(x)$ הם פולינומים שמקיימים:

• $g(x)\ne 0$ לכל $x\in ℝ$ (כלומר, לכל x ממשי)
• $\mathrm{deg}(g(x))\ge \mathrm{deg}(f(x))+2$ (כלומר, מעלת הפולינום g גדולה לפחות ב-2 ממעלת הפולינום f)

אז מתקיים:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{g(x)}dx=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(\frac{f}{g},z_k)$

כאשר $z_1,...,z_n$ הם השורשים של $g(z)$ בחצי המישור העליון (כפולינום עם משתנה מרוכב).

השימוש המקורי במשפט דורש להקיף את הנקודות הלא-אנליטיות. הדרישה כאן להפרש בין מעלת המכנה למעלת המונה נדרשת כדי שניתן יהיה להזניח את התרומה של החלק במסילה שעובר בחצי המישור העליון בגבול שבו היקפו הולך לאינסוף, כך שנשארת רק התרומה על הציר הממשי כולו.

ראו גם

• עקרון הארגומנט

קישורים חיצוניים

• דוגמאות והסברים על יישום משפט השאריות לפתרון אינטגרלי קונטור
• תבנית:MathWorld