משפט נגטה-היגמן

באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) $A$ מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במילים אחרות תבנית:הערה לכל $n$ קיים קבוע $c(n)$ כך שאם $a^n=0$ לכל $a\in A$, אז לכל $a_1,\dots ,a_{c(n)}\in A$, המכפלה $a_1\cdots a_{c(n)}$ שווה לאפס. הקבוע $c(n)$ נמצא בטווח $\frac{n(n+1)}{2}\le c(n)\le n^2$, ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.

מאפיין חיובי

המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ-$n$, אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר $A$ נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל $n$ ולכל $d$ יש קבוע $c_d(n)$ כך שכל אלגברה עם $d$ יוצרים, מעל שדה ממאפיין $0<p\le n$, שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה $n$ לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה $c_d(n)$ לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של $c_d(n)$ אינו ידוע; ל-$d$ קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה $c_d(n)=O(e^{\log (n{)}^2})$, ואם מגבילים את המאפיין לטווח $\frac{n}{2}<p\le n$, ידוע גם חסם פולינומי ב-$n$ (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב-$d$)תבנית:הערה.

מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש: $c_d(n)\le (m+2)n^4$. אם המאפיין גדול מ-$n^2+1$ (או 0), אזי $c_d(n)\le n^2$.

היסטוריה

את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 תבנית:הערה הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים $c(n)$, ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956 תבנית:הערה הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ-$n$, ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.

ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל-$c(n)\ge \frac{n(n+1)}{2}$, ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור $n=1,2,3,4$.

בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל $n$ קיים $c(n)$ כך ש-$x_1\cdots x_{c(n)}$ נמצא ב-T-אידיאל של $x_1^n$; כלומר, $x_1\cdots x_{c(n)}$ שייך לאידיאל של האלגברה החופשית $F⟨x_1,x_2,\dots ⟩$ הנוצר על ידי כל החזקות $f^n$. תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם $c(n)\le n^2$, שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.