משפט רול

המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה c, מקביל לקו האדום המחבר את הקטע [a,b] ולציר ה-x.

משפט רול (על שם המתמטיקאי הצרפתי מישל רול שניסח אותו ב-1691), הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$, גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ וערכיה בשני קצוות הקטע זהים, כלומר $f(a)=f(b)$, אז קיימת נקודה c בקטע $(a,b)$ כך ש-$f^{\prime }(c)=0$, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.

מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של $y$) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.

הוכחה

על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה בקטע $[a,b]$, והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה בקטע $(a,b)$. אחרת, המקסימום או המינימום מתקבלים בתוך הקטע ובכל אחד מהמקרים קיימת נקודת קיצון $x_0$ בקטע $(a,b)$. לפי תנאי המשפט, הפונקציה גזירה ב-$(a,b)$ ובפרט היא גזירה ב-$x_0$, ולכן על פי משפט פרמה ערך הנגזרת ב-$x_0$ הוא אפס כנדרש.

הכללות

אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:אנציקלופדיה למתמטיקה
• תבנית:בריטניקה