משפט שני הטורים של קולמוגורוב

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט שני הטורים של קולמוגורוב מתאר תנאי להתכנסות בהסתברות של תהליך מקרי. משפט זה נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב, ויש לו תפקיד באחת מההוכחות המקובלות של החוק החזק של המספרים הגדולים.

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי

תהי ${\left(X_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים במרחב הסתברות $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$. נניח כי הם בעלי תוחלות סופיות שנסמן $𝐄\left[X_n\right]={\mu }_n$ ובעלי שונויות סופיות שנסמן $𝐕𝐚𝐫\left(X_n\right)={\sigma }_n^2$.

אם הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_n$ מתכנס והטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_n^2$ מתכנס, אז גם הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$ מתכנס בהסתברות $1$. כלומר, $$\mathbb{P}(\omega \in \mathrm{\Omega }\mid \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n\left(\omega \right)\text{converges})=1$$

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי ${\mu }_n=0$ (אחרת נתבונן בסדרת המשתנים המקריים ${(X_n-{\mu }_n)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, שתוחלתם היא אפס ושונויותיהם זהות לאלה של ${\left(X_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$). נסמן $S_N=\sum _{n=1}^N{X}_n$, ונראה שמתקיים $\underset{N}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_N-\underset{N}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_N=0$ בהסתברות $1$.

נשים לב שעבור כל $m\in \mathbb{N}$ מתקיים, $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_N-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_N=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(S_N-S_m)-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(S_N-S_m)\le 2\underset{k\in \mathbb{N}}{\max }\left|\sum _{i=1}^k{X}_{m+i}\right|$$

ולכן לכל $m\in \mathbb{N}$ ולכל $ϵ>0$ מתקיים, $$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(S_N-S_m)-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(S_N-S_m)\ge ϵ)& \le \mathbb{P}(2\underset{k\in \mathbb{N}}{\max }\left|\sum _{i=1}^k{X}_{m+i}\right|\ge ϵ)\\ & =\mathbb{P}(\underset{k\in \mathbb{N}}{\max }\left|\sum _{i=1}^k{X}_{m+i}\right|\ge \frac{ϵ}{2})\\ & \le \underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}4{ϵ}^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}{\sigma }_i^2\\ & =4{ϵ}^{-2}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=m+1}^{m+N}{\sigma }_i^2\end{array}$$ כאשר אי השוויון שבשורה השלישית נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב.

מההנחה כי הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_n^2$ מתכנס, נובע כי הביטוי האחרון שואף לאפס כאשר $m\to \mathrm{\infty }$. בחרנו $ϵ>0$ שרירותית, ולכן ההסתברות הזאת היא בהכרח $0$ לכל $ϵ>0$, כנדרש.

לקריאה נוספת

• Durrett, Rick. Probability: Theory and Examples. Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.
• M. Loève, Probability theory, Princeton Univ. Press (1963) pp. Sect. 16.3
• W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9