סדרת סילבסטר

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה $s_i=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1$, כאשר $s_1=2$. הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס $s_n=1+\prod _{i=1}^{n-1}{s}_i$, וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}=1$ בנעלמים $0<x_1\le x_2\le \dots \le x_n$, עבור $n$ טבעי כלשהו, הפתרון שבו $x_n$ הוא הגדול ביותר מתקבל מ-$n$ איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה $\frac{1}{s_1}+\dots +\frac{1}{s_{n-1}}+\frac{1}{s_n-1}=1$. בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.

לדוגמה, ארבעת האיברים הראשונים של סדרת סילבסטר הם 2, 3, 7, 43, ואכן $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}=1$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:OEIS