פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר.

השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה.

בכיול לורנץ

מיקום הווקטורים r ו- r ′ המשמשים בחישוב.

נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:

$◻\phi =\frac{\rho }{{ϵ}_0},◻𝐀={\mu }_0𝐉$

כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן $◻$ הוא הד'אלמבריאן. פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

עבור שדות תלויי זמן

עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם: תבנית:הערה

$\mathrm{\phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו-

$t_r=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

הוא הזמן המעוכב, ו-$d^3{𝐫}^{\prime }$ הוא גורם האינטגרציה לפי ${𝐫}^{\prime }$ .

מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:

$-𝐄=\mathrm{\nabla }\phi +\frac{\partial 𝐀}{\partial t},𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן

במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור $◻$ מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0},{\mathrm{\nabla }}^2𝐀=-{\mu }_0𝐉,$

כאשר ${\mathrm{\nabla }}^2$ הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם:

$\mathrm{\phi }(𝐫)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

פוטנציאל ליאנארד-ויקרט

במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו ${𝐫}_{𝐬}(t)$, הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\left(\frac{q}{(1-{𝐧}_s\cdot {𝜷}_s)|𝐫-{𝐫}_s|}\right)}_{t_r}$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_{0}c}{4\pi }{\left(\frac{q{𝜷}_s}{(1-{𝐧}_s\cdot {𝜷}_s)|𝐫-{𝐫}_s|}\right)}_{t_r}$

זאת כאשר:

• ${𝜷}_s=\frac{1}{c}\frac{d{𝐫}_s}{dt}$ היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
• $|𝐫-{𝐫}_s|$ הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
• ${𝐧}_s=\frac{𝐫-{𝐫}_s}{|𝐫-{𝐫}_s|}$ הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
• הסימן $(\mathrm{...}{)}_{t_r}$ משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב $t_r=t-\frac{1}{c}|𝐫-{𝐫}_s|$

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

$|𝐫-{𝐫}_s(t_r)|=c(t-t_r)$

בכיול קולון

בכיול קולון, משוואות מקסוול הןתבנית:הערה

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐉+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right),$

הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\times \int {\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }{\int }_0^{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|/c}\mathrm{d}{t}_r\frac{t_r𝐉({𝐫}^{\prime },t-t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\times (𝐫-{𝐫}^{\prime }).$

התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄(r^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\times 𝐁(r^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

בכבידה ליניארית

הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה ${\tilde{h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }h$ ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני ${\tilde{h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן $◻{\tilde{h}}_{\mu \nu }=-16\pi G{T}_{\mu \nu }$, ופתרון הגל המעוכב הוא:

${\tilde{h}}_{\mu \nu }(𝐫,t)=4G\int \frac{T_{\mu \nu }({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• זמן מאוחר
• חוק לנץ