פונקציה מטריציאלית

תבנית:סימון מתמטי במתמטיקה, פונקציה מטריציאלית (Matrix function) היא פונקציה הממפה מטריצה אחת למטריצה אחרת.

הרחבת פונקציה סקלרית לפונקציות מטריציאליות

קיימות מספר שיטות להצגת פונקציה ממשית כמטריצה ריבועית כך שתכונות מעניינות יישמרו. הטכניקות הבאות מניבות את אותה פונקציה מטריציאלית, אך התחומים שבהם מוגדרת הפונקציה עשויים להיות שונים. תבנית:ש

טור חזקות

אם לפונקציה ממשית קיימת הצגה כטור טיילור

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x+f^{″}(0)\cdot \frac{x^2}{2!}+\cdots$

אז הפונקציה המטריציאלית יכולה להיות מוגדרת על ידי החלפת תבנית:Mvar במטריצה: החזקות הופכות לחזקות של מטריצות, החיבור לחיבור מטריצות והכפל לפעולות דירוג. אם הסדרה ממשית מתכנסת עבור $\Vert A\Vert <r$ אז סדרת המטריצות המקבילה תתכנס למטריצה תבנית:Mvar אם $\Vert A\Vert <r$עבור נורמת מטריצה כלשהי $\Vert \cdot \Vert$שמקיימת $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$. תבנית:ש

מטריצה לכסינה

אם תבנית:Mvar לכסינה, ניתן למצוא מטריצה תבנית:Mvar ומטריצה אלכסונית תבנית:Mvar כך ש $A=P\cdot D\cdot P^{-1}$. נפעיל את סדרת החזקות על הפירוק ונקבל כי תבנית:Mvar מוגדר על ידי

$f(A)=P\left[\begin{array}{ccc}f(d_1)& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \dots & f(d_n)\end{array}\right]P^{-1}$,

כאשר $d_1,\dots ,d_n$ הם ערכי האלכסון של תבנית:Mvar.

לדוגמה, נניח כי מחפשים (A! = תבנית:Mvar(תבנית:Mvar+1 עבור

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right]$.

ניתן לרשום את תבנית:Mvar באופן הבא

$A=P\left[\begin{array}{cc}1-\sqrt{6}& 0\\ 0& 1+\sqrt{6}\end{array}\right]P^{-1}$,

כאשר

$P=\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$.

מהפעלת הנוסחה נקבל

$A!=\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(2-\sqrt{6})& 0\\ 0& \mathrm{\Gamma }(2+\sqrt{6})\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& -\sqrt{6}/2\\ 1& \sqrt{6}/2\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}3.6274& 8.8423\\ 5.8949& 3.6274\end{array}\right]$.

ובאופן דומה

$A^4=\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}(1-\sqrt{6}{)}^4& 0\\ 0& (1+\sqrt{6}{)}^4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& -\sqrt{6}/2\\ 1& \sqrt{6}/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}73.00& 84.00\\ 56.00& 73.00\end{array}\right]$.

פירוק ז'ורדן

כל המטריצות המרוכבות, לכסינות או לא, בעלות צורת ז'ורדן $A=P\cdot J\cdot P^{-1}$, כאשר המטריצה תבנית:Mvar מורכבת מבלוקי ז'ורדן. נסתכל על כל בלוק בנפרד ונפעיל עליו את סדרת החזקות:

$f\left(\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \dots & 0\\ 0& \lambda & 1& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \dots & \ddots & \lambda & 1\\ 0& \dots & \dots & 0& \lambda \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{f(\lambda )}{0!}& \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!}& \frac{f^{″}(\lambda )}{2!}& \dots & \frac{f^{(n)}(\lambda )}{n!}\\ 0& \frac{f(\lambda )}{0!}& \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!}& ⋮& \frac{f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}\\ 0& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \dots & \ddots & \frac{f(\lambda )}{0!}& \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!}\\ 0& \dots & \dots & 0& \frac{f(\lambda )}{0!}\end{array}\right]$.

הגדרה זו יכולה לשמש כדי להרחיב את תחום הפונקציה המטריציאלית מעבר לקבוצת מטריצות עם רדיוס ספקטרלי קטן יותר מרדיוס ההתכנסות של טור החזקותתבנית:הערה.

אינטגרל קושי

נוסחת האינטגרל של קושי באנליזה מרוכבת יכולה לשמש להכללת פונקציות סקלריות לפונקציות מטריציאליות. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לכל פונקציה אנליטית תבנית:Mvar המוגדרת בקבוצה תבנית:Mvar,

$f(x)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-x}\mathrm{d}z$,

כאשר תבנית:Mvar היא עקומה סגורה בתחום תבנית:Mvar בצירוף תבנית:Mvar. כעת, נחליף את תבנית:Mvar במטריצה תבנית:Mvar כאשר תבנית:Mvar היא בתוך תבנית:Mvar ומכילה את כל הערכים העצמיים של תבנית:Mvarתבנית:הערה. אז, תבנית:Mvar מוגדר על ידי

$f(A)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C}f(z)(zI-A{)}^{-1}\mathrm{d}z$.

אינטגרל זה ניתן בקלות להעריך באמצעות כלל הטרפז, אשר במקרה זה מתכנס באופן אקספוננציאלי. כלומר, הדיוק של התוצאה מוכפל כאשר מספר הצמתים מוכפל.

מחלקות של פונקציות מטריציאליות

חלק ממחלקות הפונקציות הסקליות ניתנות להרחבה לפונקציות מטריציאליות של מטריצות הרמיט, באמצעות שימוש ביחס סדר על מטריצות ( $X-Y\iff X⪯Y$ מטריצה חיובית ו-

$X-Y\iff X\prec Y$ מטריצה חיובית לחלוטין.)

אופרטור מונוטוני

פונקציה תבנית:Mvar נקראת אופרטור מונוטוני אם ורק אם $0\prec A⪯H\Rightarrow f(A)⪯f(H)$ לכל $A,H$ מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של תבנית:Mvar. תבנית:ש

ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות מונוטוניות במקרה הסקלרי.

אופרטור קעור/קמור

פונקציה תבנית:Mvar נקראת אופרטור קעור אם ורק אם $\tau f(A)+(1-\tau )f(H)⪯f(\tau A+(1-\tau )H)$ לכל $A,H$ מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של תבנית:Mvar ו- $\tau \in [0,1]$. תבנית:ש

ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות קעורות במקרה הסקלרי. אופרטור קמור מוגדר על ידי החלפת $⪯$ ב $⪰$ בהגדרה הנ"ל.

ראו גם

• אנליזה מתמטית

לקריאה נוספת

• תבנית:Cite book

קישורים חיצוניים

• תורת הפונקציות המטריציאליות (באנגלית)
• פונקציות מטריציאליות: תאוריה ואלגוריתמים (באנגלית)