פונקציית בוכשטאב

Graph of the Buchstab function ω(u) from u = 1 to u = 4.

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה $\omega :{ℝ}_{\ge 1}\to {ℝ}_{>0}$, שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:

$\omega (u)=\frac{1}{u},1\le u\le 2,$

$\frac{d}{du}(u\omega (u))=\omega (u-1),u\ge 2.$ . יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.

הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб,תבנית:כ 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.

אסימפטוטיות

אם $\gamma$ מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני, אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל $e^{-\gamma }$ כאשר $u\to \mathrm{\infty }$ . למעשה, $|\omega (u)-e^{-\gamma }|\le \frac{\rho (u-1)}{u},u\ge 1,$, כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman)תבנית:הערה. כמו כן, הערך $\omega (u)-e^{-\gamma }$ מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקביםתבנית:הערה.

יישומים

פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים: $\mathrm{\Phi }(x,x^{1/u})\sim \omega (u)\frac{x}{\log x^{1/u}},x\to \mathrm{\infty }$

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld