פונקציית המלבן

פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע; באנגלית: rectangular,תבנית:כ rectangle function,תבנית:כ rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{if }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{if }|t|<\frac{1}{2}\end{array}$

ישנן הגדרות שונות לערך הפונקציה בנקודות אי-הרציפות $\pm 1/2$ והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד $u(t)$:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{\tau }\right)=u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})$

או לחלופין:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=u(t+\frac{1}{2})\cdot u(\frac{1}{2}-t)$

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)dt=1$

התמרות פורייה של פונקציית המלבן הן:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{sinc}\left(\frac{\omega }{2}\right)$,

כאשר $\omega$ היא התדירות הזוויתית ו־$\mathrm{sinc}$ היא הצורה הלא־מנורמלת של פונקציית sinc.

או:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}={\mathrm{sinc}}_{\pi }(f)$

כאשר $f$ היא התדירות ו־${\mathrm{sinc}}_{\pi }$ היא הצורה המנורמלת של פונקציית sinc.

התמרת פורייה של פונקציית המלבן $\mathrm{rect}(t/a)$, היא:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{a}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=a\frac{\sin (\pi af)}{\pi af}=a{\mathrm{sinc}}_{\pi }(af)$.

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן:

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)*\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)$

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

$\phi (k)=\frac{\sin (k/2)}{k/2}$

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

$M(k)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(k/2)}{k/2}$

כאשר $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)$ היא סינוס היפרבולי.

ראו גם

• התמרת פורייה
• גל מרובע
• פונקציית המשולש

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld