פירוק ריט

תבנית:סימון מתמטי פירוק ריט של פונקציה פולינומית או רציונלית הוא הפירוק שלה כהרכבה של פונקציות אי-פריקות מאותו סוג, היינו בצורה $f=f_1\circ \cdots \circ f_t$, כאשר כל $f_i$ אי-פריקה. פירוק כזה תמיד קיים, והשאלה הטבעית היא באיזו מידה הוא יחיד.

משפט ריט השני (Ritt, 1922) קובע שאם $a,b,c,d\in ℂ[x]$ הם פולינומים המקיימים $a\circ b=c\circ d$, אז עד כדי הרכבה בפונקציות ליניאריות רציונליות, הפתרון הוא מהצורה $(x^{n}h(x{)}^m)\circ x^m=x^m\circ (x^{n}h(x^m))$ או $T_m\circ T_n=T_n\circ T_m$ עבור זרים n,m, כאשר $T_n$ הם פולינומי צ'ביצ'ב.

עבור פונקציות רציונליות יש פתרונות נוספים, הנובעים מפעולת הכפל בקבוע בעקום אליפטי; כלומר, $[n]\circ [m]=[m]\circ [n]$ כאשר $[n]$ היא פעולת הכפל $[n]:P\mapsto n\cdot [P]$ בעקום נתון כלשהו. מיון שלם של הפתרונות בפונקציות רציונליות, אפילו כאשר המעלות גדולות מספיק, עדיין אינו ידוע.

מקורות

• A. Schinzel, ``Polynomials with Special Regard to Reducibility, Cambridge University Press, 2000.