פפירוס מוסקבה

בעיה 14 בפפירוס המתמטי של מוסקבה (וסילי שטרובה, 1930).

הפפירוס המתמטי של מוסקבה, הנקרא גם הפפירוס המתמטי גולנישצ'ב על שם בעליו הלא-מצרי הראשון, האגיפטולוג ולדימיר גולנישצ'ב, הוא פפירוס מתמטי מצרי עתיק המכיל מספר בעיות באריתמטיקה, גאומטריה ואלגברה. גולנישצ'ב קנה את הפפירוס ב-1892 או ב-1893 בתבאי. מאוחר יותר הוא נכנס לאוסף המוזיאון הלאומי לאמנויות יפות פושקין במוסקבה, שם הוא נמצא כיום.

בהתבסס על הפלאוגרפיה והכתיב של הטקסט ההיראטי, הטקסט נכתב ככל הנראה בתקופת השושלת השלוש-עשרה תבנית:אנ והתבסס על חומר ישן יותר, כנראה מתקופת השושלת השתים עשרה של מצרים, בערך מ-1850 לפני הספירה.תבנית:הערה אורכו כ-5.5 מטרים ורוחבו נע בין 3.8 ל-7.6 סנטימטרים, הכתוב בו חולק על ידי המזרחן הסובייטי וסילי ואסילביץ' שטרובה תבנית:אנתבנית:הערה ב-1930תבנית:הערה ל-25 בעיות עם פתרונות.

זהו פפירוס מתמטי נודע, ובדרך כלל מתייחסים אליו ביחד עם פפירוס רינד. הפפירוס המתמטי של מוסקבה ישן יותר מהפפירוס המתמטי של רינד, בעוד שהאחרון הוא הגדול מבין השניים.תבנית:הערה

תרגילים הכלולים בפפירוס מוסקבה

הבעיות הכתובות בפפירוס מוסקבה לא עוקבות אחר סדר מסוים, ופתרונות לבעיות מספקים פירוט פחות מאלה שבפפירוס המתמטי של הרינד. הפפירוס ידוע בכמה מבעיות הגאומטריה שבו. בעיות 10 ו-14 מציגות חישוב שטח פנים ונפח של גוף קטום תבנית:אנ בהתאמה. הבעיות האחרות שכיחות יותר בטבע.תבנית:הערה

בעיות רכיבי ספינה

בעיות 2 ו-3 הן בעיות רכיבי הספינה. אחת הבעיות מציגה חישוב למציאת היקף ההגה בספינה והשנייה מציגה חישוב למציאת אורך תורן הספינה בהתחשב בכך שהוא 1/3 + 1/5 מאורך בול עץ ארז במקור באורך 30 אמות.תבנית:הערה

בעיות אחע

תבנית:חרטומים בעיות אחע כוללות מציאת כמויות לא ידועות (המכונה אחע, "מחסנית") אם ניתן סכום הכמות וחלק (ים) ממנה. הפפירוס המתמטי של רינד מכיל גם ארבע בעיות מסוג זה. בעיות 1, 19 ו-25 בפפירוס של מוסקבה הן בעיות אחע. לדוגמה, בעיה 19 מבקשת מאדם לחשב כמות שנלקחה פי 1+1⁄2 ונוספה ל-4 כדי ליצור 10.תבנית:הערה במילים אחרות, בסימון מתמטי מודרני מתבקשים לפתור את המשוואה:$\frac{3}{2}\times x+4=10$

בעיות פפסו

10 מתוך 25 הבעיות בפפירוס מוסקבה משתייכות לקטגוריה של בעיות פפסו (Pefsu). פפסו מודד את חוזק הבירה העשויה מהקאט של תבואה.

$\text{וספפ}=\frac{\text{(הריב ינקנק וא) םחל תורכיכ רפסמ}}{\text{האובת טאקה רפסמ}}$

מספר פפסו גבוה יותר פירושו לחם או בירה חלשים יותר. מספר הפפסו מוזכר ברשימות הצעות רבות. לדוגמה, בעיה 8 מתורגמת כך:תבנית:ש

(1) דוגמה לחישוב 100 כיכרות לחם של פפסו 20תבנית:ש (2) אם מישהו אומר לך: "יש לך 100 כיכרות לחם של פפסו 20תבנית:ש (3) להחלפה בבירה של פפסו 4תבנית:ש (4) כמו 1/2 1/4 בירה מאלט תמר"תבנית:ש (5) תחילה חשב את הדגן הנדרש עבור 100 כיכרות הלחם של פפסו 20תבנית:ש (6) התוצאה היא 5 הקאט. אז תחשוב מה אתה צריך עבור קנקן בירה כמו הבירה שנקראת 1/2 1/4 בירה מאלט תמרתבנית:ש (7) התוצאה היא 1/2 ממידת ההקאט הדרושה להוצאת קנקן בירה העשויה מדגן מצרים העליונה.תבנית:ש (8) חשב 1/2 מתוך 5 הקאט, התוצאה תהיה 2 1/2תבנית:ש (9) קח את זה 2 1/2 ארבע פעמיםתבנית:ש (10) התוצאה היא 10. ואז אתה אומר לו:תבנית:ש (11) "הנה! נמצאה כמות הבירה נכונה."תבנית:הערה

בעיות באקו

בעיות 11 ו-23 הן בעיות באקו. בעיות אלו מציגות חישוב של תפוקת עובדים. בעיה 11 שואלת אם מישהו מביא 100 בולי עץ בגודל 5 על 5, אז לכמה בולי עץ בגודל 4 על 4 זה מתאים? בעיה 23 מוצאת את ההספק של סנדלר בהתחשב בכך שהוא צריך לגזור ולקשט סנדלים.תבנית:הערה

בעיות גאומטריות

שבע מתוך עשרים וחמש הבעיות הן בעיות גאומטריות והן נעות מחישוב שטחים של משולשים, דרך מציאת שטח הפנים של חצי כדור (בעיה 10) ועד מציאת נפח של גוף קטום תבנית:אנ (פירמידה קטומה).תבנית:הערה

בעיה 10

הבעיה העשירית בפפירוס המתמטי של מוסקבה מתארת חישוב לשטח פנים של חצי כדור או אולי שטח פנים של חצי גליל. להלן אנו מניחים שהבעיה מתייחסת לחישוב שטח פנים של חצי כדור.

הטקסט של בעיה 10 מצוטט כך: "דוגמה לחישוב סל. נותנים לך סל עם פתח של 4 1/2. מה פני השטח שלו? קח 1/9 מתוך 9 (שכן) הסל הוא חצי קליפת ביצה. קיבלת 1. חשב את היתרה שהיא 8. חשב 1/9 מתוך 8. אתה מקבל 2/3 + 1/6 + 1/18 השארית של 8 לאחר הפחתת 2/3 + 1/18 אתה מקבל 7 + 1/9 ב-4 + 1/2. קיבלת 32. הנה זה השטח שלה. מצאת את זה נכון."תבנית:הערהתבנית:הערה

הפתרון מסתכם בחישוב השטח כ:

$\text{חטש}=(((2\times \text{רטוק})\times \frac{8}{9})\times \frac{8}{9})\times \text{רטוק}=\frac{128}{81}(\text{רטוק}{)}^2$

הנוסחה מחשבת את שטח הפנים של חצי כדור, שבו השתמש הסופר של הפפירוס של מוסקבה כ-$\frac{256}{81}\approx 3.16049$ להעריך את π.תבנית:אנ

בעיה 14: נפח של פירמידה מרובעת קטומה

הבעיה הארבע-עשרה בפפירוס מוסקבה מציגה פתרון לחישוב נפח גוף קטום תבנית:אנ.

בעיה 14 קובעת שפירמידה קטומה באופן שהשטח העליון הוא ריבוע באורך 2 יחידות, התחתון ריבוע באורך 4 יחידות, והגובה 6 יחידות, כפי שמוצג. נמצא שהנפח הוא 56 יחידות מעוקבות, וזה נכון.תבנית:הערה

הפתרון לבעיה מצביע על כך שהמצרים ידעו את הנוסחה הנכונה לקבלת נפח של פירמידה קטומה תבנית:אנ:

$V=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)$

הטקסט של הדוגמה מוצג כך: "אם נאמר לך: פירמידה קטומה של 6 עבור הגובה האנכי ו-4 על הבסיס ועל 2 בחלק העליון: עליך לעלות בריבוע את ה-4; תוצאה 16. עליך להכפיל את 4; תוצאה 8. עליך לעלות בריבוע את ה-2; תוצאה 4. אתה צריך לחבר את התוצאות 16 וה-4 וה-2. תוצאה 28. עלייך לקחת 1/3 מ-6; תוצאה 2. עלייך לקחת את 28 פעמיים; תוצאה 56. ראה, זה 56. אתה תמצא [את זה] כנכון"תבנית:הערה

כאשר a ו-b הם אורכי הבסיס והצד העליון של הפירמידה הקטומה ו-h הוא הגובה. חוקרים העלו השערות כיצד ייתכן שהמצרים הגיעו לנוסחה לנפח של גוף קטום תבנית:אנ אך הגזירה של נוסחה זו אינה ניתנת בפפירוס.תבנית:הערה

סיכום

ריצ'רד ג'יי ג'ילינגס נתן סיכום שטחי של תוכן הפפירוס.תבנית:הערה מספרים עם קווי על מציינים את השבר היסודי עם מספר זה כמכנה, למשל $\overline{4}=\frac{1}{4}$. שברי יחידות היו אובייקטים נפוצים למחקר במתמטיקה המצרית העתיקה.

התוכן של הפפירוס המתמטי של מוסקבהתבנית:ביאור

מספר	פרט
1	ניזוקה ולא ניתנת לקריאה.
2	ניזוקה ולא ניתנת לקריאה.
3	תורן העשוי מעץ ארז. $\overline{3}\overline{5}$ of $30=16$. לא ברור.
4	שטח משולש. $\overline{2}$ of $4\times 10=20$.
5	פסוס של כיכרות לחם וכסף. זהה לבעיה מספר 8.
6	Rectangle, area $=12,b=\overline{2}\overline{4}l$. Find $l$ and $b$.
7	משולש, שטח $=20,h=2\overline{2}b$. מציאת $h$ ו-$b$.
8	פסוס של כיכרות לחם וכסף.
9	פסוס של כיכרות לחם וכסף.
10	שטח פנים של משטח קמור של חצי כדור (או גליל).
11	כיכרות לחם וכסף. לא ברור.
12	פסו של בירה. לא ברור.
13	פסוס של כיכרות לחם וכסף. זהה לבעיה מספר 9.
14	נפח של פירמידה קטומה. $V=(h/3)(a^2+ab+b^2)$.
15	פסו של בירה.
16	פסו של בירה. זהה לבעיה מספר 15.
17	משולש, שטח $=20,b=(\overline{3}\overline{15})h$. מציאת $h$ ו-$b$.
18	מדידת בד באמות וכפות ידיים. לא ברור.
19	פתרון המשוואה $1\overline{2}x+4=10$. ברור.
20	פסו של 1,000 כיכרות לחם. שברי עין הורוס.
21	ערבוב של לחם הקרבה.
22	החלפה של פסוס של כיכרות לחם ובירה.
23	חישוב עבודתו של סנדלר. לא ברור. פיט אומר קשה מאוד.
24	החלפה של כיכרות לחם ובירה.
25	פתרון המשוואה $2x+x=9$. בסיסי וברור.

פפירוסים מתמטיים נוספים

כתבים מתמטיים אחרים ממצרים העתיקה כוללים:

• פפירוס ברלין 6619
• מגילת העור המתמטית המצרית תבנית:אנ
• הפפירוסים המתמטיים של להון תבנית:אנ
• פפירוס רינד

פפירוסים כלליים:

• פפירוס האריס א
• פפירוס רולין