פתרון מישל

פתרון מישל הוא פתרון כללי למשוואות האלסטיות בקואורדינטות קוטביות ( $r,\theta$ ) פותח על ידי ג'ון הנרי מישל . הפתרון נכתב כסדרת פורייה ב $\theta$ .

מישל הראה שניתן לבטא את הפתרון הכללי במונחים של פונקציית מאמץ אייירי מהצורה

$\begin{array}{cc}\phi (r,\theta )& =A_0{r}^2+B_0{r}^2\ln (r)+C_0\ln (r)\\ & +(I_0{r}^2+I_1{r}^2\ln (r)+I_2\ln (r)+I_3)\theta \\ & +(A_{1}r+B_1{r}^{-1}+{B_1}^{\prime }r\theta +C_1{r}^3+D_{1}r\ln (r))\cos \theta \\ & +(E_{1}r+F_1{r}^{-1}+{F_1}^{\prime }r\theta +G_1{r}^3+H_{1}r\ln (r))\sin \theta \\ & +\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(A_n{r}^n+B_n{r}^{-n}+C_n{r}^{n+2}+D_n{r}^{-n+2})\cos (n\theta )\\ & +\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(E_n{r}^n+F_n{r}^{-n}+G_n{r}^{n+2}+H_n{r}^{-n+2})\sin (n\theta )\end{array}$

האיברים $A_{1}r\cos \theta$ ו- $E_{1}r\sin \theta$ מגדירים מצב טריוויאלי של מאמץ, כלומר זה פוטנציאל שמשרה 0 מאמץ.

מרכיבי מאמץ

ניתן להשיג את מרכיבי המאמץ על ידי החלפת פתרון מישל במשוואות המתח במונחים של פונקציית המאמץ של איירי (בקואורדינטות גליליות). טבלה של מרכיבי מתח מוצגת להלן.

$\phi$	${\sigma }_{rr}$	${\sigma }_{r\theta }$	${\sigma }_{\theta \theta }$
$r^2$	$2$	$0$	$2$
$r^2\ln r$	$2\ln r+1$	$0$	$2\ln r+3$
$\ln r$	$r^{-2}$	$0$	$-r^{-2}$
$\theta$	$0$	$r^{-2}$	$0$
$r^3\cos \theta$	$2r\cos \theta$	$2r\sin \theta$	$6r\cos \theta$
$r\theta \cos \theta$	$-2r^{-1}\sin \theta$	$0$	$0$
$r\ln r\cos \theta$	$r^{-1}\cos \theta$	$r^{-1}\sin \theta$	$r^{-1}\cos \theta$
$r^{-1}\cos \theta$	$-2r^{-3}\cos \theta$	$-2r^{-3}\sin \theta$	$2r^{-3}\cos \theta$
$r^3\sin \theta$	$2r\sin \theta$	$-2r\cos \theta$	$6r\sin \theta$
$r\theta \sin \theta$	$2r^{-1}\cos \theta$	$0$	$0$
$r\ln r\sin \theta$	$r^{-1}\sin \theta$	$-r^{-1}\cos \theta$	$r^{-1}\sin \theta$
$r^{-1}\sin \theta$	$-2r^{-3}\sin \theta$	$2r^{-3}\cos \theta$	$2r^{-3}\sin \theta$
$r^{n+2}\cos (n\theta )$	$-(n+1)(n-2)r^n\cos (n\theta )$	$n(n+1)r^n\sin (n\theta )$	$(n+1)(n+2)r^n\cos (n\theta )$
$r^{-n+2}\cos (n\theta )$	$-(n+2)(n-1)r^{-n}\cos (n\theta )$	$-n(n-1)r^{-n}\sin (n\theta )$	$(n-1)(n-2)r^{-n}\cos (n\theta )$
$r^n\cos (n\theta )$	$-n(n-1)r^{n-2}\cos (n\theta )$	$n(n-1)r^{n-2}\sin (n\theta )$	$n(n-1)r^{n-2}\cos (n\theta )$
$r^{-n}\cos (n\theta )$	$-n(n+1)r^{-n-2}\cos (n\theta )$	$-n(n+1)r^{-n-2}\sin (n\theta )$	$n(n+1)r^{-n-2}\cos (n\theta )$
$r^{n+2}\sin (n\theta )$	$-(n+1)(n-2)r^n\sin (n\theta )$	$-n(n+1)r^n\cos (n\theta )$	$(n+1)(n+2)r^n\sin (n\theta )$
$r^{-n+2}\sin (n\theta )$	$-(n+2)(n-1)r^{-n}\sin (n\theta )$	$n(n-1)r^{-n}\cos (n\theta )$	$(n-1)(n-2)r^{-n}\sin (n\theta )$
$r^n\sin (n\theta )$	$-n(n-1)r^{n-2}\sin (n\theta )$	$-n(n-1)r^{n-2}\cos (n\theta )$	$n(n-1)r^{n-2}\sin (n\theta )$
$r^{-n}\sin (n\theta )$	$-n(n+1)r^{-n-2}\sin (n\theta )$	$n(n+1)r^{-n-2}\cos (n\theta )$	$n(n+1)r^{-n-2}\sin (n\theta )$

רכיבי העתק

שדה העתק $(u_r,u_{\theta })$ ניתן להשיג מהפתרון של מישל על ידי שימוש ביחסי מאמץ-מעוות ומעוות-העתק. להלן טבלה של רכיבי תזוזה התואמים את המונחים בפונקציית המאמץ של איירי עבור פתרון מישל. בטבלה זו

$\kappa =\{\begin{array}{cc}3-4\nu & \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\\ \frac{3-\nu }{1+\nu }& \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\end{array}$

כאשר $\nu$ הוא יחס פואסון, ו- $\mu$ הוא מודול הגזירה.

$\phi$	$2\mu u_r$	$2\mu u_{\theta }$
$r^2$	$(\kappa -1)r$	$0$
$r^2\ln r$	$(\kappa -1)r\ln r-r$	$(\kappa +1)r\theta$
$\ln r$	$-r^{-1}$	$0$
$\theta$	$0$	$-r^{-1}$
$r^3\cos \theta$	$(\kappa -2)r^2\cos \theta$	$(\kappa +2)r^2\sin \theta$
$r\theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}[(\kappa -1)\theta \cos \theta +\{1-(\kappa +1)\ln r\}\sin \theta ]$	$-\frac{1}{2}[(\kappa -1)\theta \sin \theta +\{1+(\kappa +1)\ln r\}\cos \theta ]$
$r\ln r\cos \theta$	$\frac{1}{2}[(\kappa +1)\theta \sin \theta -\{1-(\kappa -1)\ln r\}\cos \theta ]$	$\frac{1}{2}[(\kappa +1)\theta \cos \theta -\{1+(\kappa -1)\ln r\}\sin \theta ]$
$r^{-1}\cos \theta$	$r^{-2}\cos \theta$	$r^{-2}\sin \theta$
$r^3\sin \theta$	$(\kappa -2)r^2\sin \theta$	$-(\kappa +2)r^2\cos \theta$
$r\theta \sin \theta$	$\frac{1}{2}[(\kappa -1)\theta \sin \theta -\{1-(\kappa +1)\ln r\}\cos \theta ]$	$\frac{1}{2}[(\kappa -1)\theta \cos \theta -\{1+(\kappa +1)\ln r\}\sin \theta ]$
$r\ln r\sin \theta$	$-\frac{1}{2}[(\kappa +1)\theta \cos \theta +\{1-(\kappa -1)\ln r\}\sin \theta ]$	$\frac{1}{2}[(\kappa +1)\theta \sin \theta +\{1+(\kappa -1)\ln r\}\cos \theta ]$
$r^{-1}\sin \theta$	$r^{-2}\sin \theta$	$-r^{-2}\cos \theta$
$r^{n+2}\cos (n\theta )$	$(\kappa -n-1)r^{n+1}\cos (n\theta )$	$(\kappa +n+1)r^{n+1}\sin (n\theta )$
$r^{-n+2}\cos (n\theta )$	$(\kappa +n-1)r^{-n+1}\cos (n\theta )$	$-(\kappa -n+1)r^{-n+1}\sin (n\theta )$
$r^n\cos (n\theta )$	$-n{r}^{n-1}\cos (n\theta )$	$n{r}^{n-1}\sin (n\theta )$
$r^{-n}\cos (n\theta )$	$n{r}^{-n-1}\cos (n\theta )$	$n(r^{-n-1}\sin (n\theta )$
$r^{n+2}\sin (n\theta )$	$(\kappa -n-1)r^{n+1}\sin (n\theta )$	$-(\kappa +n+1)r^{n+1}\cos (n\theta )$
$r^{-n+2}\sin (n\theta )$	$(\kappa +n-1)r^{-n+1}\sin (n\theta )$	$(\kappa -n+1)r^{-n+1}\cos (n\theta )$
$r^n\sin (n\theta )$	$-n{r}^{n-1}\sin (n\theta )$	$-n{r}^{n-1}\cos (n\theta )$
$r^{-n}\sin (n\theta )$	$n{r}^{-n-1}\sin (n\theta )$	$-n{r}^{-n-1}\cos (n\theta )$

יש לציין ששניתן להוסיף העתק גוף צפיד על פתרון מישל של הצורה

$\begin{array}{cc}{u}_r& =A\cos \theta +B\sin \theta \\ u_{\theta }& =-A\sin \theta +B\cos \theta +Cr\\ \end{array}$

כדי לקבל שדה העתק קביל.