קומפקטיפיקציה חד-נקודתית

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה

יהא $(X,{\tau }_X)$ מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית $\mathrm{\infty }\notin X$ ונגדיר $Y=X\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$. נגדיר טופולוגיה ${\tau }_Y$ על $Y$ - קבוצה $U\subseteq Y$ תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

1. $U$ הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-$X$, כלומר $U\in {\tau }_X$.
2. $\mathrm{\infty }\in U$ וגם $Y\setminus U$ היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה

נראה ש-$Y$ הוא מרחב קומפקטי. יהא $𝒰$ כיסוי פתוח של $Y$. קיימת $V_0\in 𝒰$ כך ש-$\mathrm{\infty }\in V_0$, ומשום ש-$V_0\in {\tau }_Y$ אזי $Y\setminus V_0$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל-$Y\setminus V_0$ יש תת-כיסוי סופי $\{V_1,...,V_n\}$, לכן $\{V_0,V_1,...,V_n\}$ הוא כיסוי סופי של $Y$ ונקבל ש-$Y$ קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של Y

תבנית:הפניה לערך מורחב אם נניח ש-$X$ הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם $Y$ הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות $x,y\in Y$. אם $x,y\in X$ אזי משום ש-$X$ הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב-$X$ וזרות $U$ ו-$V$ כך ש-$x\in U$ ו-$y\in V$ ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב-$X$ היא קבוצה פתוחה ב-$Y$. אחרת, $x=\mathrm{\infty }$ או $y=\mathrm{\infty }$ ונניח בלי הגבלת הכלליות כי $x=\mathrm{\infty }$. משום ש-$X$ הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת $V\in {\tau }_X$ (ובפרט, $V\in {\tau }_Y$) כך ש-$y\in V$ וש-$\bar{V}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה $U:=Y\setminus \left\{\bar{V}\right\}$ היא קבוצה פתוחה ב-$Y$. בנוסף, נשים לב כי $x=\mathrm{\infty }\in U$ ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב-$Y$ וזרות כך ש-$x\in U$ ו-$y\in V$ ולכן נקבל ש-$Y$ הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם

• הטלה סטריאוגרפית
• קומפקטיפיקציה
• קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld