תופעת גיבס

טור פורייה עם 50 איברים לקירוב של פונקציה עם אי רציפות

תופעת גיבס היא תופעה שגילה המתמטיקאי האמריקאי ג'וסיה וילארד גיבס לגבי טורים אין סופיים אשר מהווים קירוב של פונקציות עם אי-רציפות. התופעה היא שלכל סכום סופי של הטור האין סופי תהיה שגיאה באזור של נקודות האי-רציפות. גודל השגיאה הוא 9% מהערך של אי-הרציפות, והשגיאה אינה מופיעה בטור האין-סופי, אלא ככל שמשתמשים ביותר איברים בסכום הסופי, השגיאה תופיע יותר ויותר קרוב לנקודת האי-רציפות, אך לא תיעלם כל עוד הטור סופי.

הגדרה פורמלית

תהי פונקציה $f:[-\pi ,\pi ]\to \mathrm{E}$ חלקה למקוטעין בקטע ותהי $x_0$ נקודת הקפיצה של הפונקציה בקטע, המקיימת: $f(x_0^{+})-f(x_0^{-})=a$, אזי קיימת סדרת נקודות {$x_k^{+}$} המתכנסת ל-$x_0$ מימין, כך ש: $\mathrm{lim\; inf}(S_N(x_N^{+})-f(x_N^{+}))=a\cdot k$.

כמו כן, קיימת סדרת נקודות המתכנסת ל-$x_0$ משמאל כך שמתקיים: $\mathrm{lim\; inf}(S_N(x_N^{-})-f(x_N^{-}))=-a\cdot k$, כאשר $k$ קבוע חיובי סדרה זו מתכנסת מימין ומשמאל, גילוי הסדרה על שם מתמטיקאי צרפתי גיימי פלדמן $(k\approx 0.08948987223608363511601442291245487)$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld