Cis

תבנית:שם שגוי תבנית:סימון מתמטי cis הוא סימון מתמטי שהגדרתו $cis(x)=\cos (x)+i\sin (x)$, כאשר $\cos$הוא הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס, $\sin$הוא הפונקציה הטריגונומטרית סינוס ו־$i$ הוא היחידה המדומה. בהתאם לנוסחת אוילר $cis(x)=e^{ix}$.

את הסימון cis טבע בשנת 1866 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון בספרו "Elements of Quaternions" שפורסם לאחר מותו.תבנית:הערה הסימון משמש כקיצור נוח המפשט הצגה של ביטויים מסוימים, למשל בטרנספורמציית פורייה. דוגמה: נוח יותר לכתוב ולהבין את הביטוי תבנית:Math מאשר לכתוב ולהבין את הביטוי תבנית:Math.

בספריות תוכנה מתמטית, כגון Math Kernel Library של אינטל, נכלל מימוש של פונקציה זו בשפות תכנות נפוצות.תבנית:הערה

זהויות מתמטיות

נגזרת:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{cis}(z)=i\mathrm{cis}(z)=i{e}^{iz}$

אינטגרל:

$\int \mathrm{cis}(z)\mathrm{d}z=-i\mathrm{cis}(z)=-i{e}^{iz}$

תכונות נוספות:

הזהויות הבאות נובעות ישירות מנוסחת אוילר:

$\mathrm{cis}(x+y)=\mathrm{cis}(x)\mathrm{cis}(y)$

$\mathrm{cis}(x-y)=\frac{\mathrm{cis}(x)}{\mathrm{cis}(y)}$

זהויות אלה מתקיימות כאשר תבנית:Math ו-תבנית:Math הם מספרים מרוכבים. כאשר תבנית:Math ו-תבנית:Math הם מספרים ממשיים, מתקיים גם:

$|\mathrm{cis}(x)-\mathrm{cis}(y)|\le |x-y|.$

מספרים מרוכבים

את המספר המרוכב $z=x+iy$ ניתן להציג בהצגה קוטבית כ- $z=r(cis\theta )$, כאשר $r=\sqrt{x^2+y^2}$ הוא המרחק של הנקודה $z$ מראשית הצירים, והזווית $\theta$, שבין הישר המחבר את הנקודה $z$ לראשית הצירים ובין ציר ה-$x$, ניתנת בנוסחה $\theta =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$.

פעולות כפל וחילוק של מספרים מרוכבים נעשות פשוטות יותר בהצגה פולרית. בהתבסס על הזהויות הטריגונומטריות

$\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$

$\sin (a+b)=\cos (a)\sin (b)+\sin (a)\cos (b)$

כאשר נתונים המספרים המרוכבים $z_1=r_1\mathrm{cis}{\phi }_1$, $z_2=r_2\mathrm{cis}{\phi }_2$ מתקיים

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\mathrm{cis}({\phi }_1+{\phi }_2)$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{cis}({\phi }_1-{\phi }_2)$

ראו גם

• משפט דה מואבר

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld