Testwiki:מיזמי ויקיפדיה/אתר האנציקלופדיה היהודית/ערכים שנוצרו באנציקלופדיה היהודית/מספר ליילנד

בתורת המספרים מספר ליילנד (באנגלית: Leyland number) הוא מספר מהצורה: $x^y+y^x$ כאשר $x$ ו $y$ הם שלמים גדולים מ-$1$תבנית:כ.

מספרים אלו קרויים על שמו של המתמטיקאי הבריטי פול ליילנד. מספרי ליילנד הראשונים הם: $8,17,32,54,57,100,145,177,320,368,512,593,945,1124...$ תבנית:OEIS.

הדרישה ששני המספרים יהיו גדולים מ-1 חשובה, מכיוון שבלעדיה כל שלם חיובי יהיה מספר ליילנד מהצורה x¹ + 1^x.תבנית:כ בנוסף, עקב עקרון הקומוטטיביות של החיבור, התנאי

x ≥ y תבנית:כמוסף בדרך כלל כדי להימנע מכפילות בקבוצת מספרי ליילנד (כך שמתקבל התנאי: תבנית:כ1 < y ≤תבנית:כ x).

מספרי ליילנד ראשוניים

ליילנד ראשוניים (Leyland primes) הם מספרי ליילנד שהם גם ראשוניים. תבנית:ש הראשונים שבהם הם:תבנית:ש $17,593,32993,2097593,8589935681,59604644783353249,523347633027360537213687137,43143988327398957279342419750374600193...$ המתאימים ל:

3²+2³, 9²+2⁹, 15²+2¹⁵, 21²+2²¹, 33²+2³³, 24⁵+5²⁴, 56³+3⁵⁶, 32¹⁵+15³².

עד נובמבר 2012 מספר ליילנד הגדול ביותר שהוכח שהוא ראשוני היה 5122⁶⁷⁵³ + 6753⁵¹²² (מספר בעל 25,050 ספרות). בתחילת 2011 הוא היה המספר הראשוני הגדול ביותר שהוכח שהוא ראשוני על ידי הוכחת ראשוניות בעזרת עקומות אליפטיות.

ישנם מספרים רבים גדולים יותר אשר נחשבים "כנראה ראשוניים" (probable primes), כגון 314738⁹ + 9³¹⁴⁷³⁸תבנית:כ, אולם קשה להוכיח מתמטית את ראשוניותם של מספרי ליילנד גדולים. פול ליילנד כתב באתרו: "לאחרונה התברר כי מספרים אלו הינם אבן בוחן אידאלית עבור תכניות להוכחת ראשוניות. יש להם מבנה אלגברי פשוט אולם אין להם תכונות ציקלוטומיות (cyclotomic) מיוחדות הניתנות לניצול".

ישנו פרויקט בשם XYYXF שמטרתו למצוא רכיבי ליילנד של מספר ליילנד נתון.

מספרי ליילנד מהסוג השני

מספר ליילנד מהסוג השני הוא מהצורה:

$x^y-y^x$

כאשר $x$ ו $y$ הם שלמים גדולים מ-$1$

גם עבור הסוג השני ישנה חשיבות למספרים הראשוניים. הראשונים שבהם הם: $7,17,79,431,58049,130783,162287,523927,2486784401,6102977801,8375575711,13055867207,83695120256591,375700268413577,2251799813682647,...$