חלון קייזר

חלון קייזר (באנגלית: Kaiser Window), ידוע גם כחלון קייזר-בסל, פותח על ידי ג'יימס קייזר במעבדות בל. חלון קייזר הוא משפחה חד-פרמטרית של פונקציות חלוןתבנית:אנ המשמשות לעיבוד דיגיטלי של אותות ומוגדר על ידי הנוסחה:

$w[n]=\{\begin{array}{cc}\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1-{(\frac{2n}{N-1}-1)}^2}\right)}{I_0(\pi \alpha )},& 0\le n\le N-1\\ \\ 0& \text{otherwise},\end{array}$

כאשר:

• N הוא אורך הרצף.
• I₀ הוא סדר 0 של פונקציית בסל מהסוג הראשון.
• α מספר ממשי חיובי שרירותי אשר קובע את צורת החלון. במרחב התדירויות, הוא קובע את האיזון בין רוחב האונה הראשית ורמת האונה הצדדית. זו היא החלטה מרכזית בתכנון החלון.

כאשר N הוא מספר אי-זוגי ערך הקצה של החלון הוא $w[(N-1)/2]=1,$ וכאשר N זוגי ערכי הקצה הם $w[N/2-1]=w[N/2]<1.$

טרנספורם פורייה

טרנספורם פורייה של חלונות קייזר עבור ערכים אופייניים של α

מאחורי הרצף הדיסקרטי עומדת הפונקציה הבאה וטרנספורם פורייה שלה:

$\underset{w_0(t)}{\underbrace{\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1-{\left(\frac{2t}{(N-1)T}\right)}^2}\right)}{I_0(\pi \alpha )}}}\stackrel{ℱ}{⟺}\underset{W_0(f)}{\underbrace{\frac{(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi \sqrt{{\alpha }^2-{((N-1)T\cdot f)}^2}\right)}{I_0(\pi \alpha )\cdot \pi \sqrt{{\alpha }^2-{((N-1)T\cdot f)}^2}}}}.$

הערך המקסימלי של (תבנית:כw₀(t הוא w₀(0) = 1.

רצף ה-w[n] המוגדר למעלה נגזר מתוך:

$w_0(t-\frac{(N-1)T}{2})\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-(N-1)T/2}{NT}\right),$ הנמדדים במרווחים של T,

וכאשר ()תבנית:כrect היא פונקציית המלבן האיפוס הראשון אחרי האונה של (תבנית:כW₀(f קורה ב:

$f=\frac{\sqrt{1+{\alpha }^2}}{NT},$

אשר ביחידות "DFT bins" הוא פשוט $\sqrt{1+{\alpha }^2}.$תבנית:הערה

α שולטת באיזון בין רוחב האונה הראשית ושטח האונה הצדדית. ככל ש α עולה, האונה הראשית W₀(f) גדלה ברוחב, והאונה הצדדית קטנה במשרעת. α = 0 מגיב לחלון מלבני.

עבור α גבוה, צורת חלון קייזר (הן בזמן והן בתדירות) נוטה לעקומת גאוס. חלון קייזר הוא כמעט אופטימלי במונחים של ריכוז מקסימום סביב התדירות 0 (Oppenheim et al., 1999).