מערכת דינקין

מערכת דינקין היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין.

משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית.

הגדרות

תהי $X$ קבוצה.

• משפחה של תת-קבוצות $ℰ\subseteq 𝒫(X)$ נקראת מערכת-π, אם לכל $A,B\in ℰ$ מתקיים $A\cap B\in ℰ$.
• משפחה של תת-קבוצות $ℒ\subseteq 𝒫(X)$ נקראת מערכת-λ (או מערכת דינקין), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
  1. $X\in ℒ$
  2. לכל $A,B\in ℒ$ המקיימות $A\subseteq B$, מתקיים $B\setminus A\in ℒ$.
  3. לכל סדרה ${\left\{A_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq ℒ$ המקיימת $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq \mathrm{...}$, מתקיים כי $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in ℒ$.

יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ.

תהי $P\subseteq 𝒫(X)$ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

• נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $P$ להיות $\sigma (P)$. זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $P$.
• נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי $P$ להיות $\lambda (P)$. זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את $P$.

משפט π−λ

משפט: תהי $X$ קבוצה ותהי $ℰ\subseteq 𝒫(X)$ מערכת-π. אזי $\sigma (ℰ)=\lambda (ℰ)$.

נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות $P\subset 𝒫(X)$ מתקיים $\lambda (P)\subset \sigma (P)$. משפט π−λ מוסיף כי אם $P$ היא מערכת-π, אז $\lambda (P)$ היא למעשה סיגמא-אלגברה.

הוכחה

• נראה כי $\lambda (ℰ)$ סגורה לחיתוך.

  למה: לכל $E\in ℰ$ נגדיר ${ℒ}_E=\{A\subseteq X|A\cap E\in \lambda (ℰ)\}$. אזי ${ℒ}_E$ היא מערכת-λ המכילה את $ℰ$.

  הוכחת הלמה: ברור כי $ℰ\subseteq {ℒ}_0$. נראה כי היא מערכת-λ.

  ברור כי $X\in {ℒ}_E$. יהיו $A,B\in {ℒ}_E$ המקיימות $A\subseteq B$. מתקיים כי $E\cap (B\setminus A)=(E\cap B)\setminus (E\cap A)$, וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל-$\lambda (ℰ)$, לכן $B\setminus A\in {ℒ}_E$. בהינתן סדרה ${\left\{A_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq {ℒ}_E$ העולה ביחס להכלה, אז ברור כי $E\cap (\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(E\cap A_i)$, לכן $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in {ℒ}_E$.

  מסקנה: $\lambda (ℰ)$ סגורה לחיתוכים סופיים.

  הוכחת המסקנה: מהלמה נובע שלכל $E\in \lambda (ℰ)$ מתקיים כי ${ℒ}_E$ היא מערכת-λ המכילה את $E$, לכן נובע כי $\lambda (ℰ)\subseteq {ℒ}_E$.

  יהיו $A,B\in \lambda (ℰ)$. נגדיר ${ℒ}_A=\{B\subseteq X|B\cap A\in \lambda (ℰ)\}$. באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי ${ℒ}_A$ היא מערכת-λ המכילה את $ℰ$, ומכך נובע כמו קודם כי $\lambda (ℰ)\subseteq {ℒ}_A$, כלומר לכל $B\in \lambda (ℰ)$ מתקיים $A\cap B\in \lambda (ℰ)$.

• נסיק כי $\lambda (ℰ)$ היא סיגמא-אלגברה.

  סגירות למשלים: תהי $A\in \lambda (ℰ)$. מהיות $\lambda (ℰ)$ מערכת-λ נובע כי $X\in \lambda (ℰ)$, ולכן גם $A^{\complement }=X\setminus A\in \lambda (ℰ)$.

  סיגמא אדיטיביות: תהי ${\left\{A_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq \lambda (ℰ)$. נציג $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\bigcup _{N=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=1}^N{A}_i$, וברור כי הסדרה ${\left\{\bigcup _{i=1}^N{A}_i\right\}}_{N=1}^{\mathrm{\infty }}$ עולה ביחס להכלה, ולכן $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in \lambda (ℰ)$.

שימוש יסודי

משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא סיגמא-סופית אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.

טענה: תהי $ℰ$ מערכת-π על מרחב X, ויהי $(X,\sigma (ℰ))$ המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי $\mu$ מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת $E\in ℰ$ המקיימת $\mu (E)<\mathrm{\infty }$. אזי המידה $\mu$ נקבעת ביחידות על כל $\sigma (ℰ)$, על-פי ערכיה על $ℰ$.

בפרט למשל עבור המרחב ${ℝ}^n$ יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה $\mu$ על ${ℝ}^n$ שמקיימת:

$\mu ([a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \mathrm{...}\times [a_n,b_n])=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot \mathrm{...}\cdot (b_n-a_n)$

לכל $a_i\le b_i\in ℝ$ עבור $1\le i\le n$.

הוכחה: יהיו ${\mu }_1,{\mu }_2$ זוג מידות המזדהות על המערכת-π $ℰ$. נקבע $E\in ℰ$ המקיימת ${\mu }_1(E)<\mathrm{\infty }$. נסמן ${ℒ}_E=\{A\in \sigma \left(ℰ\right)|{\mu }_1(A\cap E)={\mu }_2(A\cap E)\}$. ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את $ℰ$, ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את $\lambda (ℰ)=\sigma (ℰ)$. כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי $F\in \sigma (ℰ)$ נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב:

${\mu }_1(F)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_1(F\cap E_i)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mu }_1(F\cap E_i)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mu }_2(F\cap E_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_2(F\cap E_i)={\mu }_2(F)$