משפט הפירוק של לבג

תבנית:סימון מתמטי במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של לבג הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.

המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.

ניסוח פורמלי

בהינתן מרחב מדיד $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב $\mu ,\nu$, אזי קיימות זוג מידות על המרחב ${\nu }_{\text{cont}},{\nu }_{\text{sing}}$ כך ש:

1. $\nu ={\nu }_{\text{cont}}+{\nu }_{\text{sing}}$.
2. ${\nu }_{\text{cont}}\ll \mu$. כלומר, ${\nu }_{\text{cont}}$ רציפה בהחלט ביחס ל $\mu$.
3. ${\nu }_{\text{sing}}\perp \mu$ . כלומר, ${\nu }_{\text{sing}}$ סינגולרית ביחס ל $\mu$.

יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.

תקציר ההוכחה

עבור מידה סופית

במקרה שבו $\nu$ היא מידה סופית, מגדירים:

$ℒ:=\{f:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty })\mid \mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma },\underset{A}{\int }fd\mu \le \nu (A)\}$

ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל-$ℒ$ קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב-$z$. בגלל סופיות המידה $\mu$, בהכרח מתקיים כי $z$ מקבלת את הערך $\mathrm{\infty }$ עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל-$\mu$). כמו כן, לכל $f\in ℒ$ מתקיים כי $f\le z$

כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל-$\mu$). לכל $A\in \mathrm{\Sigma }$ מגדירים:

• ${\nu }_{\text{cont}}(A):=\underset{A}{\int }zd\mu$
• ${\nu }_{\text{sing}}(A):=\nu (A)-{\nu }_{\text{cont}}(A)$.

מובן כי:

• $\nu ={\nu }_{\text{cont}}+{\nu }_{\text{sing}}$
• ${\nu }_{\text{cont}}\ll \mu$, (מתכונות אינטגרל לבג).

נותר רק להוכיח כי ${\nu }_{\text{sing}}\perp \mu$. לכל $n\in \mathbb{N}$ מגדירים ${\lambda }_n:={\nu }_{\text{sing}}-\frac{1}{n}\mu$. זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית $P_n\in \mathrm{\Sigma }$ כך ש-$\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }{P}_n$ היא קבוצה שלילית. מגדירים $P:=\bigcup _n{P}_n$. לכל $n_0\in \mathbb{N}$ מתקיים $\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P=\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }\bigcup _n{P}_n=\bigcap _n\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }{P}_n\subseteq \mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }{P}_{n_0}$ . לכן:

${\nu }_{\text{sing}}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)-\frac{1}{n_0}\mu (\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)={\lambda }_{n_0}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)\le 0⟹{\nu }_{\text{sing}}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)\le \frac{1}{n_0}\mu (\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)$

הדבר נכון לכל $n_0\in \mathbb{N}$, לכן בהכרח ${\nu }_{\text{sing}}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)=0$. עבור כל $n\in \mathbb{N}$ מגדירים:

$z_n(x):=\{\begin{array}{cc}z(x)+\frac{1}{n},& \text{if }x\in P_n\\ z(x),& \text{else}\end{array}$

בגלל החיובית של $P_n$ ניתן להוכיח כי $z_n\in ℒ$. מצד שני, בגלל המקסימליות של $z$, מחויב כי $\mu (P_n)=0$. הדבר נכון לכל $n\in \mathbb{N}$, לכן בהכרח $\mu (P)=\mu \left(\bigcup _n{P}_n\right)=0$. התקבל אפוא כי ${\nu }_{\text{sing}}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }P)=0$ ו-$\mu (P)=0$, לכן ${\nu }_{\text{sing}}\perp \mu$. מ.ש.ל.

עבור מידה סיגמא-סופית

במקרה שבו $\nu$ היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב $\mathrm{\Omega }$ לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה $\nu$ היא סופיות ${\left\{C_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. לכל $n\in \mathbb{N}$ ולכל $A\in \mathrm{\Sigma }$ מגדירים

• ${\mu }_n(A):=\mu (A\cap C_n)$ ו-
• ${\nu }_n(A):=\nu (A\cap C_n)$.

ברור כי ${\nu }_n$ מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור ${\mu }_n,{\nu }_n$, לפרק אותה ל-${\nu }_{\text{cont}}^n,{\nu }_{\text{sing}}^n$ כתוצאת המשפט. מגדירים:

${\nu }_{\text{cont}}:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\nu }_{\text{cont}}^n$

${\nu }_{\text{sing}}:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\nu }_{\text{sing}}^n$

ניתן להוכיח כי ${\nu }_{\text{cont}},{\nu }_{\text{sing}}$ הוא הפירוק הרצוי. מ.ש.ל.

פירוק מידות לפי מידת לבג

ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה $\mu$ המוגדרת על המרחב ${ℝ}^n$ לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק

$\mu ={\mu }_{\text{ac}}+{\mu }_{cs}+{\mu }_a$ כך ש:

• ${\mu }_{\text{ac}},{\mu }_{cs},{\mu }_a$ סינגולריות אחת ביחס לשנייה
• ${\mu }_{\text{ac}}$ רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
• ${\mu }_{cs}$ סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
• ${\mu }_a$ מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

הכללות והרחבות

הכללה למידות מסומנות ומרוכבות

משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.

על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.

משפט רדון-ניקודים

תבנית:הפניה לערך מורחב בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:

במקרה שבו $\nu \ll \mu$, לפי משפט הפירוק של לבג ${\nu }_{\text{sing}}=\nu -{\nu }_{\text{cont}}$, אבל במקרה זה ${\nu }_{\text{sing}}$ היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל-$\mu$, לכן אף היא רציפה ביחס ל-$\mu$. מקבלים אם כן כי ${\nu }_{\text{sing}}$ היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר $\nu ={\nu }_{\text{cont}}$. כזכור, ${\nu }_{\text{cont}}$ נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה $z:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$ כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.

באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld