משפט מוררה

תבנית:סימון מתמטי משפט מוררה הוא משפט באנליזה מרוכבת הנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה.

המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה תבנית:אנ, שהוכיח אותו בשנת 1886.

ניסוח פורמלי

תהי $f:D\to ℂ$ פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר $D\subseteq ℂ$.

אם לכל משולש $\mathrm{△}$ המוכל יחד עם פנימו ב-$D$ מתקיים $\underset{\partial \mathrm{△}}{\oint }f(z)dz=0$, אזי $f$ הולומורפית ב-$D$.

הוכחה

ראשית נוכיח שלפונקציה $f$ קיימת פונקציה קדומה ב-$D$.

תהי $z_0\in D$ נקודה בתחום. מכיוון ש-$D$ קבוצה פתוחה, קיים עיגול $B(z_0,r)\subset D$.

לכל $z\in B(z_0,r)$ נגדיר $F(z)=\underset{[z_0,z]}{\int }f(w)dw$.

יהי $\mathrm{△}=[z_0,z,z+h,z_0]$ משולש המוכל בעיגול $B(z_0,r)$ (מתקיים בעבור $h$ קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע $\underset{\partial \mathrm{△}}{\oint }f(z)dz=0$.

נוכל לרשום את השוויון כך:

$0=\underset{\partial \mathrm{△}}{\oint }f(z)dz=\underset{[z_0,z]}{\int }f(z)dz+\underset{[z,z+h]}{\int }f(z)dz+\underset{[z+h,z_0]}{\int }f(z)dz$

ולאחר העברת אגפים נקבל

$\underset{[z,z+h]}{\int }f(z)dz=\underset{[z_0,z+h]}{\int }f(z)dz-\underset{[z_0,z]}{\int }f(z)dz$

ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון $\underset{[z,z+h]}{\int }f(w)dw=F(z+h)-F(z)$.

כעת, נוכיח שהפונקציה $F$ היא פונקציה קדומה של $f$. כלומר מתקיים $\underset{h\to 0}{lim}|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)|=0$.

נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל:

$\begin{array}{cc}|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)|& =|\frac{1}{h}\underset{[z,z+h]}{\int }f(w)dw-f(z)|=\frac{1}{h}|\underset{[z,z+h]}{\int }(f(w)-f(z))dw|\\ \\ & \le \frac{1}{h}\underset{[z,z+h]}{\int }|f(w)-f(z)|dw\le \frac{1}{h}\cdot h\cdot \underset{\zeta \in (z,z+h)}{sup}|f(\zeta )-f(z)|\end{array}$

מרציפות $f$ נקבל שכאשר $h$ שואף לאפס גם הביטוי $\frac{1}{h}\cdot h\cdot \underset{\zeta \in (z,z+h)}{sup}|f(\zeta )-f(z)|$ שואף לאפס, כלומר מתקיים $\underset{h\to 0}{lim}|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)|=0$, ולכן $F$ פונקציה קדומה של $f$.

ומכיוון ש-$F$ הולומורפית ב-$D$ נובע שגם נגזרתה $f$ הולומורפית ב-$D$.

שימושים

משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל.

דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא $\mathrm{\Gamma }(z)$ על ידי כך שנוכיח את השוויון $\underset{C}{\oint }\mathrm{\Gamma }(z)dz=0$ לכל מסילה סגורה $C$.

מהגדרת פונקציית גמא מתקיים $\underset{C}{\oint }\mathrm{\Gamma }(z)dz=\underset{C}{\oint }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dxdz$.

ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל:

$\underset{C}{\oint }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dxdz=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{C}{\oint }{x}^{z-1}{e}^{-x}dzdx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\underset{C}{\oint }{x}^{z-1}dzdx$

הפונקציה $f(z)=x^{z-1}$ אנליטית, ולכן מתקיים $\underset{C}{\oint }{x}^{z-1}dz=0$ (נובע ממשפט קושי-גורסה). כלומר $\underset{C}{\oint }\mathrm{\Gamma }(z)dz=0$ לכל מסילה סגורה $C$, ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור.

לקריאה נוספת

• פונקציות מרוכבות (כרך ג' יחידות 5–6), האוניברסיטה הפתוחה, 2009

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:אנציקלופדיה למתמטיקה