מתמטיקה במצרים העתיקה

מתמטיקה במצרים העתיקה היא המתמטיקה שפותחה והשתמשו בה במצרים העתיקה בין השנים 3000-300 לפני הספירה לערך, מתקופת הממלכה הקדומה ועד לתחילתה של תקופת מצרים ההלניסטית. המצרים הקדמונים השתמשו במערכת ספרות למנייה ולפתרון בעיות מתמטיות כתובות, שלעיתים קרובות כללו כפל תבנית:אנ ושברים. עדויות למתמטיקה מצרית מוגבלות לכמות מועטה של מקורות שרידיים שנכתבו על פפירוס. מכתבים אלו ידוע שהמצרים הקדמונים הבינו מושגים של גאומטריה תבנית:אנ, כגון קביעת שטח פנים ונפח של צורות תלת-ממדיות שימושיות להנדסה אדריכלית, ואלגברה תבנית:אנ, כגון שיטת המיקום השגוי תבנית:אנ ומשוואות ריבועיות.

סקירה כללית

עדויות כתובות לשימוש במתמטיקה מתוארכות לפחות לשנת 3200 לפני הספירה עם תוויות שנהב שנמצאו בקבר U-j באבידוס. נראה שתוויות אלו שימשו כתגים לסחורות בקברים וחלקן כתובות במספרים.תבנית:הערה עדויות נוספות לשימוש במערכת המספרים לפי בסיס 10 ניתן למצוא בראש אלת נערמר המתאר מנחות של 400,000 שוורים, 1,422,000 עיזים ו-120,000 אסירים.תבנית:הערה עדויות ארכאולוגיות העלו כי מקורה של שיטת הספירה המצרית העתיקה באפריקה שמדרום לסהרה.תבנית:הערה כמו כן, עיצובי גאומטריה פרקטלית שהיו נפוצים בקרב תרבויות אפריקאיות שמדרום לסהרה נמצאים גם באדריכלות המצרית ובסימנים קוסמולוגיים.תבנית:הערה

העדויות לשימוש במתמטיקה בתקופת הממלכה הקדומה (בסביבות 2690–2180 לפנה"ס) הן נדירות, אך ניתן להסיק מכתובות קיר ליד מסטבה במיידום תבנית:אנ הנותנות קווים מנחים לשיפוע המסטבה.תבנית:הערה הקווים בתרשים מרווחים במרחק של אמה אחת ומציגים את השימוש באותה יחידת מדידה תבנית:אנ.תבנית:הערה

המסמכים המתמטיים האמיתיים המוקדמים ביותר מתוארכים לתקופת השושלת השתים-עשרה (בסביבות 1990–1800 לפני הספירה). פפירוס מוסקבה, מגילת העור המתמטית המצרית תבנית:אנ, הפפירוסים המתמטיים של להון תבנית:אנ, שהם חלק מאוסף גדול הרבה יותר של פפירוסי קהון תבנית:אנ ופפירוס ברלין 6619, מתוארכים כולם לתקופה זו. פפירוס רינד המתוארך לתקופת הביניים השנייה (בערך 1650 לפנה"ס) מבוסס על טקסט מתמטי ישן יותר מהשושלת השתים-עשרה.תבנית:הערה

פפירוס מוסקבה ופפירוס רינד הם כתבים של בעיות מתמטיות. הם מורכבים מאוסף של בעיות עם פתרונות. ייתכן שהכתבים הללו נכתבו על ידי מורה או תלמיד ועוסקים בפתרון בעיות מתמטיות טיפוסיות.תבנית:הערה

תכונה מעניינת של המתמטיקה המצרית העתיקה היא השימוש בשברי יחידה.תבנית:הערה המצרים השתמשו בסימון מיוחד לשברים כמו ⁠$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ ו-$\frac{2}{3}$, ובמספר כתבים עבור $\frac{3}{4}$, אך שברים אחרים נכתבו כולם כשברי יחידה מהצורה ⁠$\frac{1}{n}$ או סכומים של שברי יחידה כאלה. פקידים נעזרו בטבלאות כדי לעבוד עם השברים האלה. מגילת העור המתמטית המצרית למשל היא טבלה של שברי יחידות המבוטאים כסכומים של שברי יחידות אחרים. פפירוס רינד ומספר מהכתבים האחרים מכילים טבלאות ⁠$\frac{2}{n}$. טבלאות אלו אפשרו לפקידים לשכתב כל חלק מהטופס ⁠⁠$\frac{1}{n}$ כסכום של שברי יחידה.תבנית:הערה

בתקופת הממלכה החדשה (בערך 1550–1070 לפנה"ס) מוזכרות בעיות מתמטיות בפפירוס אנאסטאזי א, ופפירוס וילבור תבנית:אנ מתקופת רעמסס השלישי מתעד מדידות קרקע. בכפר הפועלים דיר אל-מדינה נמצאו מספר אוסטרקנים המתארים חישובי נפחי עפר וסלע במהלך חציבת קברים.תבנית:הערהתבנית:הערה

מקורות

ההבנה הנוכחית של המתמטיקה המצרית העתיקה מעוכבת בשל מיעוט המקורות הזמינים. המקורות שכן קיימים כוללים את הכתבים הבאים (שמתוארכים, בדרך כלל, לתקופת הממלכה התיכונה ולתקופת הביניים השנייה):

• הפפירוס המתמטי של מוסקבהתבנית:הערה
• מגילת העור המתמטית המצרית תבנית:אנתבנית:הערה
• הפפירוסים המתמטיים של להון תבנית:אנתבנית:הערה
• פפירוס ברלין 6619, נכתב בסביבות 1800 לפני הספירה
• טבלאות העץ של אחמים (Akhmim) תבנית:אנתבנית:הערה
• פפירוס רייזנר תבנית:אנ, מתוארך לתקופת השושלת השתים-עשרה המוקדמת של מצרים ונמצא בנאג אל-דיר, העיירה העתיקה תיניסתבנית:הערה
• הפפירוס המתמטי של רינד (RMP), מתוארך לתקופת הביניים השנייה (בערך 1650 לפני הספירה), אך מחברו, אחמס (Ahmes), מתאר אותו כעותק של פפירוס מתקופת הממלכה התיכונה שאבד. פפירוס רינד הוא הטקסט המתמטי הגדול ביותר.תבנית:הערה

מהממלכה החדשה יש קומץ כתבים וכתובות מתמטיות הקשורות לחישובים:

• פפירוס אנאסטאזי א, טקסט ספרותי שנכתב כמכתב (בדיוני) על ידי סופר בשם חורי וממוען לסופר בשם אמנמופה. חלק מהמכתב מתאר מספר בעיות מתמטיות.תבנית:הערה
• אוסטרקון סנמות 153, טקסט כתוב בהיראטיתתבנית:הערה
• אוסטרקון טורינו 57170, טקסט כתוב בהיראטיקהתבנית:הערה
• אוסטרקון מדיר אל-מדינה מכיל חישובים. אוסטרקון IFAO 1206 למשל מציג את חישוב הנפחים, ככל הנראה קשור לחציבת קברים.תבנית:הערה

לפי אטיין גילסון, אברהם "לימד את המצרים חשבון ואסטרונומיה".תבנית:הערה

ספרות

תבנית:הפניה לערך מורחב כתבים מצריים עתיקים יכולים להיכתב בכתב חרטומים או בכתב היראטי. בכל אחד מהייצוגים מערכת המספרים ניתנה תמיד בבסיס 10. המספר 1 הוצג באמצעות קו פשוט, המספר 2 היה מיוצג על ידי שני קווים וכו'. למספרים 10, 100, 1000, 10,000 ו-100,000 היו הירוגליפים משלהם. המספר 10 מיוצג על ידי רתמה עבור בקר, המספר 100 מיוצג על ידי חבל מפותל, המספר 1000 מיוצג על ידי פרח לוטוס, המספר 10,000 מיוצג על ידי אצבע, המספר 100,000 מיוצג על ידי צפרדע, ומיליון היה מיוצג על ידי אל עם ידיו מורמות בהערצה.תבנית:הערה

הירוגליפים לייצוג ספרות מצריותתבנית:הערה

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000
<hiero>Z1</hiero>	<hiero>V20\</hiero>	<hiero>V1</hiero>	<hiero>M12</hiero>	<hiero>D50</hiero>	<hiero>I8</hiero>	<hiero>C11</hiero>

אסטלת לוח של נסיכת הממלכה הקדומה נפרת-יאבת (מתוארך 2590–2565 לפנה"ס) מקברה בגיזה, ציור על אבן גיר, מוצג בלובר.

ספרות מצריות מתוארכות לתקופה הקדם-שושלתית. תוויות שנהב מאבידוס מתעדות את השימוש במערכת מספרים זו. מקובל גם לראות את הספרות בסצנות כדי לציין את מספר הפריטים המוצעים. בת המלך נפרת-יאבת מוצגת עם מנחה של 1000 שוורים, לחם, בירה וכו'.

מערכת המספרים המצרית הייתה מצטברת. מספרים גדולים יוצגו על ידי אוספים של הגליפים והערך התקבל על ידי חיבור של המספרים הבודדים יחד.

סצנה זו מתארת ספירת בקר (שהועתקה על ידי האגיפטולוג לפסיוס). ברישום האמצעי רואים משמאל 835 בקר בעל קרניים, ממש מאחוריהם כ-220 בעלי חיים (פרות?) ומימין 2235 עיזים. ברישום התחתון אנו רואים 760 חמורים משמאל ו-974 עזים מימין.

המצרים השתמשו כמעט אך ורק בשברים מהצורה ⁠$\frac{1}{n}$. חריג אחד בולט הוא השבר ⁠$\frac{2}{3}$⁠, שנמצא לעיתים קרובות בטקסטים המתמטיים. לעיתים רחוקות מאוד נעשה שימוש בגליף מיוחד לציון ⁠$\frac{3}{4}$. השבר $\frac{1}{2}$ יוצג על ידי גליף שאולי תיאר פיסת פשתן מקופלת לשניים. השבר $\frac{2}{3}$ יוצג על ידי הגליף עבור פה עם 2 קווים (בגדלים שונים). שאר השברים היו תמיד מיוצגים על ידי פה שהונח על מספר.תבנית:הערה

הירוגליפים לייצוג שבריםתבנית:הערה

$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$
<hiero>Aa13</hiero>	<hiero>r:Z2</hiero>	<hiero>D22</hiero>	<hiero>r:Z1*Z1*Z1*Z1</hiero>	<hiero>r:Z1*Z1*Z1*Z1*Z1</hiero>

סימון

שלבי חישובים נכתבו במשפטים בשפות מצריות. (לדוגמה, "מכפלת 10 ב-100; הופכת ל-1000").

בבעיית פפירוס רינד 28, ההירוגליפים <hiero>D54-and-D55</hiero> (D54, D55), סמלים לרגליים, שימשו כמשמעות "להוסיף" ו"להחסיר". אלה היו ככל הנראה קיצורים עבור <hiero>G35-D54 and O1:D21:D54</hiero> כלומר "להיכנס" ו"לצאת".תבנית:הערהתבנית:הערה

כפל וחילוק

הכפל המצרי נעשה על ידי הכפלה חוזרת ונשנית של המספר שיש להכפיל (המכפלה), ובחירה באיזה מהכפלות לחבר יחד (בעצם צורה של חשבון בינארי), שיטה המקשרת לתקופת הממלכה הקדומה. המכפיל נכתב ליד איור 1; לאחר מכן הוסיפו את המכפיל לעצמו, והתוצאה נכתבה ליד המספר 2. התהליך נמשך עד שההכפלות נתנו מספר גדול ממחצית המכפיל. ואז המספרים הכפולים (1, 2 וכו') הופחתו שוב ושוב מהמכפיל כדי לבחור איזו מהתוצאות של החישובים הקיימים יש לחבר יחד כדי ליצור את התשובה.תבנית:הערה

כקיצור דרך למספרים גדולים יותר, ניתן להכפיל את המוכפל מיד ב-10, 100, 1000, 10000 וכו'.

לדוגמה, בעיה 69 בפפירוס רינד מספקת את ההמחשה הבאה, כאילו נעשה שימוש בסמלים הירוגליפים (ולא בכתב ההיראטי האמיתי בפפירוס רינד).תבנית:הערה

הכפלת 14 × 80
חישוב מצרי			חישוב מודרני
תוצאה	מכפיל		תוצאה	מכפיל
<hiero>V20*V20*V20*V20:V20*V20*V20*V20</hiero>	<hiero>Z1</hiero>		80	1
<hiero>V1*V1*V1*V1:V1*V1*V1*V1</hiero>	<hiero>V20</hiero>		800	10
<hiero>V20*V20*V20:V20*V20*V20-V1</hiero>	<hiero>Z1*Z1</hiero>		160	2
<hiero>V20:V20-V1*V1:V1</hiero>	<hiero>Z1*Z1*Z1*Z1</hiero>		320	4
<hiero>V20:V20-V1-M12</hiero>	<hiero>Z1*Z1*Z1*Z1*V20</hiero>		1120	14

הסמל מציין את תוצאות הביניים שמתווספות יחד כדי להפיק את התשובה הסופית.

ניתן להשתמש בטבלה שלמעלה גם כדי לחלק את 1120 ב-80. נפתור בעיה זו על ידי מציאת המנה (80) כסכום המכפילים של 80 שמצטברים ל-1120. בדוגמה זו זה יניב מנה של 10+ 4 = 14.תבנית:הערה דוגמה מסובכת יותר של אלגוריתם החלוקה מוצגת בבעיה 66. סה"כ 3200 רו של שומן אמורים להתחלק באופן שווה על פני 365 ימים.

חילוק 3200 ב-365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$243
$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{2}$36
$\frac{1}{2190}$	$\frac{1}{6}$

ראשית, הפקיד יכפיל 365 שוב ושוב עד שתגיע לכפולה הגדולה ביותר האפשרית של 365, שהיא קטנה מ-3200. במקרה זה 8 כפול 365 הוא 2920 והוספה נוספת של כפולות של 365 תיתן בבירור ערך גדול מ-3200. לאחר מכן ציין כי $\frac{1}{2190}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{2}{3}$ כפול 365 נותן לנו את הערך של 280 שאנחנו צריכים. מכאן שאנו מוצאים ש-3200 חלקי 365 חייב להיות שווה ל- ⁠ $\frac{1}{2190}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{2}{3}$ + 8.תבנית:הערה

אלגברה

בעיות אלגברה מצריות מופיעות הן בפפירוס המתמטי של רינד והן בפפירוס המתמטי של מוסקבה וכן במספר מקורות אחרים.תבנית:הערה

תבנית:חרטומים בעיות אחע (Aha) כוללות מציאת כמויות לא ידועות (המכונות אחע) אם ניתן סכום הכמות וחלק (ים) ממנה. הפפירוס המתמטי של רינד מכיל גם ארבע בעיות מסוג זה. בעיות 1, 19 ו-25 של פפירוס מוסקבה הן בעיות אחע. לדוגמה, בעיה 19 מבקשת מאחד לחשב כמות שנלקחה $\frac{1}{2}$1 פעמים והוסיפו לה 4 כדי ליצור 10.תבנית:הערה במילים אחרות, בסימון מתמטי מודרני אנו מתבקשים לפתור את המשוואה הליניארית:

$\frac{3}{2}\times x+4=10.$

פתרון בעיות אחע אלה כרוך בטכניקה הנקראת שיטת המיקום השגוי תבנית:אנ. הטכניקה נקראת גם שיטת ההנחה הכוזבת. הפקיד יחליף ניחוש ראשוני של התשובה בבעיה. הפתרון באמצעות ההנחה השגויה יהיה פרופורציונלי לתשובה בפועל, והסופר ימצא את התשובה באמצעות יחס זה.תבנית:הערה

הכתבים המתמטיים מראים שהפקידים השתמשו (לפחות) בכפולות משותפות כדי להפוך בעיות עם שברים לבעיות באמצעות מספרים שלמים. בהקשר זה נכתבים מספרי עזר אדומים לצד השברים.תבנית:הערה

השימוש בשברי עיניים של הורוס מראה ידע (ראשוני) על התקדמות גאומטרית. הידע בהתקדמות החשבון ניכר גם מהמקורות המתמטיים.תבנית:הערה

משוואות ריבועיות

המצרים הקדמונים היו הציוויליזציה הראשונה שפיתחה ופתרה משוואות מדרגה שנייה (ריבועית). מידע זה נמצא בקטע מפפירוס ברלין 6619. בנוסף, המצרים פתרו משוואות אלגבריות מדרגה ראשונה שנמצאו בפפירוס רינד.תבנית:הערה

גאומטריה

תמונה של בעיה 14 מתוך הפפירוס המתמטי של מוסקבה. הבעיה כוללת תרשים המציין את ממדי הפירמידה הקטומה.

יש רק מספר מוגבל של בעיות ממצרים העתיקה הנוגעות לגאומטריה. בעיות גאומטריות מופיעות הן בפפירוס המתמטי של מוסקבה והן בפפירוס המתמטי של רינד. הדוגמאות מוכיחות שהמצרים הקדמונים ידעו לחשב שטחים של כמה צורות גאומטריות ונפחים של גלילים ופירמידות.

• שטח:
  • משולשים: הסופרים מתעדים בעיות בחישוב שטח משולש (פפירוס רינד ופפירוס מוסקבה).תבנית:הערה
  • מלבנים: בעיות בשטח של חלקת אדמה מלבנית מופיעות בפפירוס רינד ובפפירוס מוסקבה.תבנית:הערה בעיה דומה מופיעה בפפירוסים המתמטיים של להון תבנית:אנ בלונדון.תבנית:הערהתבנית:הערה
  • עיגולים: בעיה 48 בפפירוס רינד משווה את שטח המעגל (בקירוב על ידי מתומן) לבין הריבוע המקיף שלו. התוצאה של בעיה זו משמשת בבעיה 50, שבה הסופר מוצא את השטח של שדה עגול בקוטר 9 קת (khet).תבנית:הערה
  • חצי כדור: בעיה 10 בפפירוס מוסקבה מוצאת את שטח הפנים של חצי כדור.תבנית:הערה
• נפח:
  • גלילי (גליל): מספר בעיות מראות את הפתרון לחישוב נפחן של ממגורות גליליות (פפירוס רינד, בעיות 41–43), בעוד שבעיה 60 בפפירוס רינד כנראה נוגעת לעמוד או חרוט במקום פירמידה. הוא קטן ותלול למדי, עם סקד (seked) (שיפוע הופכי) של ארבע אמות (מעוקב).תבנית:הערה בסעיף IV.3 של הפפירוס המתמטי של להון נמצא נפחו של אסם עם בסיס עגול תוך שימוש באותו הליך כמו בבעיה 43 בפפירוס רינד.
  • מלבני (קובי): מספר בעיות בפפירוס המתמטי של מוסקבה (בעיה 14) ובפפירוס המתמטי של רינד (בעיות 44, 45, 46) מחשבות את נפחו של אסם מלבני.תבנית:הערה
  • פירמידה קטומה (גוף קטום): הנפח של פירמידה קטומה מחושב בבעיה 14 בפפירוס המתמטי של מוסקבה.תבנית:הערה

הסקד

בעיה 56 בפפירוס המתמטי של רינד מצביעה על הבנה של רעיון הדמיון הגאומטרי. בעיה זו דנה ביחס בין ההתקדמות בכיוון האופקי להתקדמות בכיוון האנכי, הידוע גם כסקד (seqed). נוסחה כזו נדרשת לבניית פירמידות. בבעיה הבאה (בעיה 57), גובה הפירמידה מחושב מאורך הבסיס והסקד (ההופכי של השיפוע, במצרית), בעוד בעיה 58 נותנת את אורך הבסיס והגובה ומשתמשת במידות אלו כדי לחשב את הסקד. בבעיה 59 חלק 1 מחושב הסקד, בעוד שהחלק השני עשוי להיות חישוב לבדיקת התשובה: אם תבנה פירמידה עם צלע בסיס 12 [אמות] ועם סקד של 5 אמות ואצבע אחת; מה הגובה שלה?תבנית:הערה

ראו גם

• היסטוריה של המתמטיקה
• כתב חרטומים

קישורים חיצוניים

• Egyptian Arithmetic
• Introduction to Early Mathematics