פונקציית W של למברט

גרף הפונקציה $y=W(x)$ עבור $x<6$ ו $y>-4$. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי $y\ge -1$ היא גרף הפונקציה $W_0$ (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי $y\le -1$ היא גרף הפונקציה $W_{-1}$. הערך המינימלי של $x$ הוא ב-$(-\frac{1}{e},-1)$

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה $f(w)=w{e}^w$, כש-$w$ הוא מספר מרוכב כלשהו ו-$e^w$ היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם $k$ משויך ענף אחד, המסומן בצורה $W_k(\text{z})$. $W_0$ מוגדר כענף הראשי תבנית:אנ. לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם $\text{z}$ ו-$w$ הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:

$w{e}^w=z$

אם ורק אם:

$w=W_k(\text{z})$ עבור $k$ שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים $W_0$ ו-$W_{-1}$ בלבד; עבור המספרים הממשיים $x$ ו-$y$ והמשוואה:

$y{e}^y=x$

למשוואה זו יש פתרון רק עבור $x\ge -\frac{1}{e}$; אנו מקבלים כי $y=W_0(x)$ אם $x\ge 0$, ואת שני הערכים $y=W_0(x)$ וגם $y=W_{-1}(x)$ אם $-\frac{1}{e}\le x<0$ (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

טרמינולוגיה

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי $W_0$ מסומן כ-$W_p$ והענף $W_{-1}$ מסומן כ-$W_m$.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של $f(w)=e^w$ נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה $w{e}^w$ בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-$W_0(1)$.

ייצוגים

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי תבנית:אנ שלה בדרכים אחרות.

באמצעות אינטגרלים מסוימים

בתחום $|x|<\frac{1}{e}$, ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:

$-\frac{\pi }{2}{W}_0(-x)={\int }_0^{\pi }\frac{\sin \left(\frac{3}{2}t\right)-x{e}^{\cos t}\sin (\frac{5}{2}t-\sin t)}{1-2x{e}^{\cos t}\cos (t-\sin t)+x^2{e}^{2\cos t}}\sin \left(\frac{1}{2}t\right)dt$

ועבור התחום הרחב יותר $-\frac{1}{e}\le x\le e$, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:

$W_0(x)=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }\ln \left(\frac{e^{e^{it}}-x{e}^{-it}}{e^{e^{it}}-x{e}^{it}}\right)dt$

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:

$W_0(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\log (1+x\frac{\sin t}{t}{e}^{t\cot t})dt$

עבור התחום $x\ge -\frac{1}{e}$ בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:

$\begin{array}{cc}{W}_0(x)& =\frac{x}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{(1-v\cot v{)}^2+v^2}{x+v\csc v{e}^{-v\cot v}}dv\\ & =\frac{x}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{(1-v\cot v{)}^2+v^2}{x+v\csc v{e}^{-v\cot v}}dv\end{array}$

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

באמצעות שברים משולבים

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:

$W_0(x)=\frac{x}{1+\frac{x}{1+\frac{x}{2+\frac{5x}{3+\frac{17x}{10+\frac{133x}{17+\frac{1927x}{190+\frac{13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}$

ועבור התחום $|W_0(x)|<1$:

$W_0(x)=\frac{x}{\exp \frac{x}{\exp \frac{x}{\ddots }}}$

ובאופן דומה, עבור התחום $|W_0(x)|>e$:

$W_0(x)=\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ddots }}}$

ד"א (דיפרנציאביליות ואינטגרביליות)

נגזרת

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של $W$ יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

$z(1+W)\frac{dW}{dz}=W(z\ne \frac{-1}{e})$

($W$ אינה גזירה עבור $z=-\frac{1}{e}$) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של $W$:

$\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}z\notin \{0,-\frac{1}{e}\}$

ובאמצעות שימוש בזהות $e^{W(z)}=\frac{z}{W(z)}$ נקבל את הנוסחה הבאה:

$\frac{dW}{dz}=\frac{1}{z+e^{W(z)}}(z\ne -\frac{1}{e})$

בענף הראשי נקבל $W_{0^{\prime }}(0)=1$.

אינטגרל

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה $W(x)$, ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: $w=W(x)(x=w{e}^w)$

$\begin{array}{cc}\int W(x)dx& =xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\ & =x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C\end{array}$

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור $x=0$.

אם נשתמש בעובדה כי $W_0(e)=1$ נקבל:

${\int }_0^e{W}_0(x)dx=e-1$

אינטגרלים מסוימים

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

${\int }_0^{\pi }{W}_0(2{\cot }^{2}x){\sec }^{2}xdx=4\sqrt{\pi }$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}dx=2\sqrt{2\pi }$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{W}_0\left(\frac{1}{x^2}\right)dx=2\sqrt{\pi }$

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה $u=W_0(x)$, ואז ניתן גם להחליף את:

$x=u{e}^u$

$\frac{dx}{du}=(u+1)e^u$

ואז ניתן להראות כי:

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u}{u{e}^u\sqrt{u{e}^u}}(u+1)e^{u}du\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u+1}{\sqrt{u{e}^u}}du\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u+1}{\sqrt{u}}\frac{1}{\sqrt{e^u}}du\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{u}{2}}du+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{u}{2}}du\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(2w{)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-w}dw+2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(2w{)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-w}dw& & (u=2w)\\ & =2\sqrt{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{w}^{\frac{1}{2}}{e}^{-w}dw+\sqrt{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{w}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-w}dw\\ & =2\sqrt{2}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)+\sqrt{2}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{\pi }\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{\pi }\right)\\ & =2\sqrt{2\pi }.\end{array}$

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה $u=x^{-2}$, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה $z=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan x$.

אינטגרלים לא מסוימים

$\int \frac{W(x)}{x}dx=\frac{W(x{)}^2}{2}+W(x)+C$תבנית:מסגרת

$\int W\left(A{e}^{Bx}\right)dx=\frac{W{\left(A{e}^{Bx}\right)}^2}{2B}+\frac{W\left(A{e}^{Bx}\right)}{B}+C$

תבנית:מסגרת$\int \frac{W(x)}{x^2}dx=\mathrm{Ei}(-W(x))-e^{-W(x)}+C$

ערכים מיוחדים

עבור כל $x$ מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי $W(x)$ הוא מספר טרנסצנדנטי. אם $W(x)$ הוא 0, אז $x$ חייב להיות גם הוא 0, ואם $W(x)$ הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, $e^{W(x)}$ חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן $x=W(x)e^{W(x)}$ חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ($W_0$):

• $W_0(-\frac{\pi }{2})=\frac{i\pi }{2}$
• $W_0(-\frac{1}{e})=-1$
• $W_0(2\ln 2)=\ln 2$
• $W_0(0)=0$
• $W_0(1)=\mathrm{\Omega }={\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}\right)}^{-1}\approx 0.56714329$ (קבוע אומגה)
• $W_0(1)=e^{-W(1)}=\ln \left(\frac{1}{W(1)}\right)=-\ln W(1)$
• $W(e)=1$
• $W(e^{1+e})=e$

קישורים חיצוניים

• פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה
• תבנית:MathWorld
• מימוש הפונקציה בשפת תבנית:משמאל לימין