פונקציית פוליגמא

גרפים של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי.

במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת ה-$m+1$ של הלוגריתם של פונקציית גמא:

${\psi }^{(m)}(z):=\frac{d^m}{d{z}^m}\psi (z)=\frac{d^{m+1}}{d{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$,

כאשר, פונקציית הפוליגמא מסדר 0 הנקראת גם פונקציית דיגמא היא:

${\psi }^{(0)}(z)=\psi (z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

ו- $\mathrm{\Gamma }(z)$ היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום $ℂ\setminus -{\mathbb{N}}_0$.

גרפים של פונקציית הלוג של גמא ושל כמה פונקציות פוליגמא הראשונות במישור המורכב:

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$	${\psi }^{(0)}(z)$	${\psi }^{(1)}(z)$
${\psi }^{(2)}(z)$	${\psi }^{(3)}(z)$	${\psi }^{(4)}(z)$

נוסחה על ידי אינטגרל

אפשר להגדיר את פונקציות הפוליגמא על ידי אינטגרלים:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt=-{\int }_0^1\frac{t^{z-1}}{1-t}{\ln }^{m}tdt$

נוסחת נסיגה

וגם על ידי נוסחת נסיגה

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+\frac{(-1{)}^{m}m!}{z^{m+1}}$

או על ידי

$\frac{{\psi }^{(m)}(n)}{(-1{)}^{m+1}m!}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^{m+1}}=\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{m+1}}m\ge 1$

כאשר

${\psi }^{(0)}(n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$

לכל $n$ טבעי ($\gamma$ הוא הקבוע של אוילר-מסקרוני).

טור טיילור

טורי טיילור של פונקציות הפוליגמא הם:

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}\frac{(m+k)!}{k!}\zeta (m+k+1)z^{k}m\ge 1$

כאשר

${\psi }^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\zeta (k+1)z^k$

אשר מתכנס כאשר לכל $z$ בעל ערך מוחלט קטן מ-1. במקרה זה $\zeta$ היא פונקציית הזטא של רימן.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld