מידת דיראק

תרשים המציג את כל תתי הקבוצות האפשריות של קבוצה בת 3 נקודות תבנית:נוסחה }. מידת דיראק תבנית:נוסחה קובעת גודל של 1 לכל הקבוצות בחצי השמאלי העליון של התרשים ו-0 לכל הקבוצות בחצי הימני התחתון.

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, מידת דיראק היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע $x$ על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים.

הגדרה

בהינתן מרחב מדיד $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ ואיבר $x\in \mathrm{\Omega }$, מידת דיראק המתאימה ל-$x$ מסומנת על ידי ${\delta }_x$ ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי $A\in \mathrm{\Sigma }$:

${\delta }_x(A)=1_A(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\in ̸A;\\ 1,& x\in A.\end{array}$

כאשר $1_A$ היא הפונקציה המציינת של $A$.

מידת דיראק היא מידה אטומית, ו-$x$ הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה $x$ כמעט בוודאות במרחב המדגם $\mathrm{\Omega }$. מידות דיראק הן תבנית:קישור שפה של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על $\mathrm{\Omega }$.

מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y)\mathrm{d}{\delta }_x(y)=f(x)$

אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(y)\delta (y-x)\mathrm{d}y=f(x)$

תכונות

יהי $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ מרחב מדיד ותהי ${\delta }_x$ מידת דיראק שמרכזה $x\in \mathrm{\Omega }$.

• ${\delta }_x$ מידת הסתברות ולכן מידה סופית, ובפרט סיגמא-סופית.

נניח ש-$(\mathrm{\Omega },\tau )$ הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה $\mathrm{\Sigma }$ עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של $(\mathrm{\Omega },\tau )$ (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה).

• ${\delta }_x$ מידה חיובית ממש אם ורק אם $x$ שייך לכל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) בטופולוגיה $\tau$. לדוגמה, עבור הטופולוגיה הטריוויאלית $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$.
• מכיוון ש-${\delta }_x$ מידת הסתברות, היא תבנית:קישור שפה.
• אם $\mathrm{\Omega }$ הוא מרחב האוסדורף עם סיגמא-אלגברת בורל המתאימה, אז ${\delta }_x$ היא תבנית:קישור שפה, משום שיחידון כמו $\{x\}$ הוא תמיד קומפקטי.
• בהנחה שהטופולוגיה עדינה מספיק כך ש-$\{x\}$ קבוצה סגורה (זה המצב במקרים רבים, למשל במרחב האוסדורף), אז ${\delta }_x$ היא גם מידה רגולרית חיצונית.
• במרחבים בהם שלוש התכונות האחרונות מתקיימות, מידת דיראק היא מידת רדון, ישירות מהגדרתה של זו.
• אם $\{x\}$ סגורה, אז התומך של ${\delta }_x$ הוא $\{x\}$ (אחרת, התומך הוא הסגור של $\{x\}$ ב-$(\mathrm{\Omega },\tau )$). בנוסף, ${\delta }_x$ היא מידת ההסתברות היחידה שהתומך שלה הוא $\{x\}$.
• ${\delta }_x$ היא מידה סינגולרית ביחס למידת לבג על המרחב האוקלידי ${ℝ}^n$.

הכללות

מידה בדידה דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה.

קישורים חיצוניים

• תבנית:Cite book
• תבנית:Cite book