אי-שוויון ML

באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון תבנית:Mvar, היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.

אם $f$ היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה $\mathrm{\Gamma }$ ואם המודול שלה $|f(z)|$ חסום על ידי הקבוע $M$ עבור כל $z$ על $\mathrm{\Gamma }$, אז:

$|{\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)dz|\le M\ell (\mathrm{\Gamma })$

כאשר $\ell (\mathrm{\Gamma })$ הוא אורך הקשת של $\mathrm{\Gamma }$. בפרט, ניתן לקחת את המקסימום $M:=\underset{z\in \mathrm{\Gamma }}{sup}|f(z)|$ כחסם עליון.

טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם $M$ על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של $f(z)$ על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.

באופן פורמלי ניתן להראות שאי-השוויון מתקיים באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:

$|{\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)dz|=|\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt|\le \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|f(\gamma (t))||{\gamma }^{\prime }(t)|dt\le \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}M|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=M\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=M\ell (\mathrm{\Gamma })$

דוגמה

המסילה $\mathrm{\Gamma }$

בעיה – חשבו את האינטגרל ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x^2+1{)}^2}dx$.

פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את ${\int }_{-a}^a\frac{1}{(x^2+1{)}^2}dx$ ונשאיף את $a$ לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל $|z|=a$ מ-$z=a$ לכיוון $z=-a$ (נגד כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב-$\mathrm{\Gamma }$.

לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל-$2\pi i$ כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה $z=i$. אפשר לפתח לטור לורן $\frac{1}{(z^2+1{)}^2}=\frac{-1}{4}(z-i{)}^{-2}+\frac{-i}{4}(z-i{)}^{-1}+\frac{3}{16}+\frac{i}{8}(z-i)-\frac{5}{64}(z-i{)}^2+\dots$; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של $(z-i{)}^{-1}$, שווה ל-$\frac{-i}{4}$. מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא $({\int }_{-a}^a+{\int }_{\mathrm{\Gamma }})\frac{dz}{(z^2+1{)}^2}=2\pi i\frac{-i}{4}=\frac{\pi }{2}$.

אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו $a$, ומכאן $\ell (\mathrm{\Gamma })=\frac{1}{2}(2\pi a)=\pi a$.תבנית:ש מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:

$|z{|}^2=|z^2|=|z^2+1-1|\le |z^2+1|+1$

ולכן:

$|z^2+1|\ge |z{|}^2-1=a^2-1>0$ כאשר $a>1$.

מכאן:

$\left|\frac{1}{(z^2+1{)}^2}\right|\le \frac{1}{(a^2-1{)}^2}$

כלומר $M=\frac{1}{(a^2-1{)}^2}$, והחסם הוא:

$\left|{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{1}{(z^2+1{)}^2}dz\right|\le \frac{\pi a}{(a^2-1{)}^2}$. הערך הזה שואף לאפס כאשר $a$ שואף לאינסוף, ומכאן ש-${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x^2+1{)}^2}=\frac{\pi }{2}$.

ראו גם

• הלמה של ז'ורדן
• משפט השאריות

לקריאה נוספת

• תבנית:Citation.
• תבנית:Citation.