אליפסואיד

חתכים מעגליים של אליפסואיד

תרשים של אליפסואיד כאשר כל אחד מהערכים $a,b,c$ שונים זה מזה

אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. צורתו של כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד.

המשוואה הכללית שמתארת אליפסואיד במערכת צירים קרטזית היא: ${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2+{\left(\frac{z}{c}\right)}^2=1$, כאשר $a,b,c$ הם קבועים המכונים צירי האליפסואיד. המרחק בין מרכז האליפסואיד $(0,0,0)$ לבין הנקודות $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ שנמצאות על פני האליפסואיד נקראים חצי ציר. כאשר בהתאם לגודל של $a,b,c$ מוגדר חצי ציר ראשי וחצאי ציר משניים.

קיימים מקרים פרטיים של אליפסואיד:

• $a=b$ - נקרא ספרואיד. ספרואיד אפשר לקבל כגוף סיבוב של אליפסה.
  • $a=b>c$ - נקרא ספרואיד אובלי. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ (הפחוס בקטבים בגלל השפעת הסיבוב).
  • $a=b<c$ - נקרא ספרואיד מוארך. זוהי צורתו של כדור פוטבול ורוגבי.
• $a=b=c$ - כדור.

בספרות המתמטית אליפסואיד הוא שם כללי לכל סוגי האליפסואיד, אולם בספרות מדעית אחרת (בעיקר גאודזיה), אלפסואיד מתאר ספרואיד.

נפחו של אליפסואיד הוא $\frac{4}{3}\pi \cdot abc$.

שטח הפנים של אליפסואיד הוא

$S=2\pi c^2+\frac{2\pi ab}{\sin (\phi )}(E(\phi ,k){\sin }^2(\phi )+F(\phi ,k){\cos }^2(\phi ))$

כאשר

$\cos (\phi )=\frac{c}{a},k^2=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},a\ge b\ge c,$

תבנית:Math ו-תבנית:Math הם אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון והשני בהתאמה.

מקרה כללי

במקרה הכללי ניתן להגדיר אליפסואיד n ממדי (נקרא לעיתים היפראליפסואיד) באמצעותתבנית:הערה : $$E\equiv \{x\mid (𝐱\mathbf{-}𝐜{)}^{\mathrm{T}}A(𝐱\mathbf{-}𝐜)\le 1\}$$ כאשר $A$ היא מטריצה חיובית, $𝐱$ ו-$𝐜$ הם וקטורים. הווקטורים העצמיים של $A$ קובעים את צירי האליפסואיד, והערכים עצמיים שלה הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים, ואילו c מגדירה את מרכז האליפסואיד.

באופטימיזציה ובלמידת מכונה נעשה שימוש באליפסואיד ממד גבוה במסגרת שיטה איטרטיבית לאופטימיזציה קמורה, המוכרת כשיטת האליפסואיד תבנית:אנ, שבמסגרתה נוצרת סדרת אליפסואידים שלהם נפח הולך וקטן בכל שלב עד להתכנסות למציאת הפתרון.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:בריטניקה