אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות (לעיתים בראשי תיבות: אש"ג) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה $f$ו-$g$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $x_0$ שעבורן קיימים הגבולות הסופיים $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ ו-$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$.

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

כלל הסכום

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

$\underset{x\to x_0}{lim}(f+g)(x)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)+\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$

כלל המכפלה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\cdot g(x)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{lim}g(x)$

אם נבחר בפונקציה $g(x)=\alpha$, קבוע, יתקבל המקרה הפרטי $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha \cdot f(x)=\alpha \underset{x\to x_0}{lim}f(x)$. בפרט $\underset{x\to x_0}{lim}(-f(x))=-\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.

כלל המנה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)\ne 0$, כלומר:

$\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\underset{x\to x_0}{lim}f(x)}{\underset{x\to x_0}{lim}g(x)}$

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

תהיינה $f$ו-$g$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $x_0$ שעבורן מתקיים:

• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.
• $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=L$, כאשר $L\in ℝ$ (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

• $\underset{x\to x_0}{lim}(f+g)(x)=+\mathrm{\infty }$.
• $\underset{x\to x_0}{lim}(g-f)(x)=-\mathrm{\infty }$.
• $\underset{x\to x_0}{lim}(\frac{g}{f})(x)=0$.

כאשר $L>0$ מתקיים:

• $\underset{x\to x_0}{lim}(f\cdot g)(x)=+\mathrm{\infty }$.

וכאשר $L<0$ מתקיים:

• $\underset{x\to x_0}{lim}(f\cdot g)(x)=-\mathrm{\infty }$.

כאשר $L=0$ לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול $\underset{x\to x_0}{lim}(f\cdot g)(x)$ מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "$0\cdot \mathrm{\infty }$" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של $x_0$ שעבורה מתקיים:

• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$.
• קיימת סביבה מנוקבת של $x_0$ בה מתקיים $f(x)>0$.

בתנאים אלו מתקיים:

• $\underset{x\to x_0}{lim}(\frac{1}{f})(x)=+\mathrm{\infty }$.

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של $x_0$ בה מתקיים $f(x)<0$ ובמקרה הזה הגבול הוא $-\mathrm{\infty }$.

תהיינה $f$ו-$g$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $x_0$ שעבורן מתקיים:

• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.
• $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$.

בתנאים אלו מתקיים :

• $\underset{x\to x_0}{lim}(f\cdot g)(x)=+\mathrm{\infty }$.

גם כלל זה תקף כאשר $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

גבול של הרכבת פונקציות

אם $f$ו-$g$ פונקציות שעבורן $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=y_0$ וכן גם $\underset{y\to y_0}{lim}g(y)=L$ (עבור $x_0,y_0,L$ כלשהם),

ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1) $L=g(y_0)$ (כלומר $g(y)$ רציפה ב $y_0$) (2) $f(x)\ne y_0$ בסביבה מנוקבת של $x_0$

אז הגבול של הרכבת הפונקציות $g\circ f$ בנק' $x_0$ קיים ושווה ל- $\underset{x\to x_0}{lim}(g\circ f)(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(f(x))=L$ .

הוכחות

הוכחת כלל הסכום

נסמן ב-$A$ וב-$B$ את הגבולות של $f$ ושל $g$ בהתאמה. יהי $\epsilon >0$. יש להוכיח כי קיים $\delta >0$ כך שלכל $x$ המקיים $|x-x_0|<\delta$ מתקיים $|(f\pm g)(x)-(A\pm B)|<\epsilon$.

מהנתונים על הגבולות של $f$ו-$g$ נסיק כי:

• קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $x$ המקיים $|x-x_0|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(x)-A|<\frac{\epsilon }{2}$ (1).
• קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $x$ המקיים $|x-x_0|<{\delta }_2$ מתקיים $|g(x)-B|<\frac{\epsilon }{2}$ (2).

נבחר את $\delta$ להיות $\delta =min\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$. לפי אי-שוויון המשולש:

$|(f\pm g)(x)-(A\pm B)|=|f(x)\pm g(x)-A\mp B|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|$.

מכאן ש- $|(f(x)\pm g(x))-(A\pm B)|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$.

הוכחת כלל המכפלה

יהי $\epsilon >0$. יש להוכיח כי קיים $\delta >0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<\delta$ מתקיים $|(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\epsilon$. נגדיר ${\epsilon }_1=min\{1,\frac{\epsilon }{1+|A|+|B|}\}$.

מהנתונים על הגבולות של $f$ו-$g$ נסיק כי:

• קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(x)-A|<{\epsilon }_1$
• קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ מתקיים $|g(x)-B|<{\epsilon }_1$

נבחר את $\delta$ להיות $\delta =min\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$. יהי $x$ המקיים $0<|x-x_0|<\delta$. נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:

$|f(x)g(x)-AB|=|(f(x)-A)(g(x)-B)+(f(x)-A)B+A(g(x)-B)|$ $\le |f(x)-A|\cdot |g(x)-B|+|f(x)-A|\cdot |B|+|A|\cdot |g(x)-B|$ $<{\epsilon }_1\cdot {\epsilon }_1+{\epsilon }_1\cdot |B|+|A|\cdot {\epsilon }_1\le {\epsilon }_1+{\epsilon }_1\cdot |B|+|A|\cdot {\epsilon }_1$ $={\epsilon }_1(1+|A|+|B|)\le \epsilon$

כלומר, הראינו שאם $x$ מקיים $0<|x-x_0|<\delta$ אזי $|f(x)g(x)-AB|<\epsilon$, ומכאן נובע כלל המכפלה.

הוכחת כלל ההרכבה

נוכיח במקרה בו $g$ רציפה.

יהי $\epsilon >0$. נתון ש-$g$ רציפה בנקודה $y_0$, לכן קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $y$ המקיים $|y-y_0|<{\delta }_1$ (כולל $y_0$) מתקיים $|g(y)-L|<\epsilon$ (1).

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=y_0$ ולכן קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ מתקיים $|f(x)-y_0|<{\delta }_1$ (2).

מ-(2) נסיק כי לכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ מתקיים $|f(x)-y_0|<{\delta }_1$ ולכן עבור $y=f(x)$ נקבל מ-(1) כי $|g(f(x))-L|<\epsilon$, כנדרש.

במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש-$0<|y-y_0|$, ולכן נבחר $|x-x_0|$ קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו $0<|f(x)-y_0|$ כפי שרצינו.

תבנית:אנליזה מתמטית