הרכבת פונקציות

$(g\circ f)(x)$, הרכבה של $g$ על $f$

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם $f$ פונקציה מ-$X$ ל-$Y$ ו-$g$ פונקציה מ-$Y$ ל-$Z$, אז ההרכבה $g\circ f$ (בסדר זה, קרי: $g$ מורכבת על $f$) היא הפונקציה מ-$X$ ל-$Z$ המוגדרת לפי $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה ($f$) מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה ($g$).

תכונות

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את $h$ על $g$ ואת $g$ על $f$, אז $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה $X$ לעצמה הוא מונויד. פונקציה $f:X\to Y$ שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת $g:Y\to X$ כך ש-$g\circ f={\mathrm{id}}_X$ וגם $f\circ g={\mathrm{id}}_Y$ (דהיינו, ההרכבה $g\circ f$ היא פונקציית הזהות על $X$, ובנוסף ההרכבה $f\circ g$ היא פונקציית הזהות על $Y$). למעשה, אם קיימת פונקציה $g$ שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של $f$" ולרוב מסומנת ב-$f^{-1}$.

הרכבה של פונקציות ממשיות

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה $f(x)=e^{\sin (x^2)}$ היא ההרכבה $f=\exp \circ \sin \circ s$ כאשר $s(x)=x^2$ ו-$\exp (x)=e^x$.

ניתן לדון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם $f$ ו-$g$ פונקציות שעבורן $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0$ וכן גם קיים הגבול $\underset{y\to y_0}{\lim }g(y)=L$ (עבור $x_0,y_0$ כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות $g\circ f$ כאשר $x\to x_0$ קיים ושווה ל-$\underset{x\to x_0}{\lim }(g\circ f)(x)=\underset{y\to y_0}{\lim }g(y)=L$. אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם $g(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x))=L$ מתקיים: $g$ רציפה ב-$y_0$ (כלומר $L=g(y_0)$) או שקיימת סביבה מנוקבת של $x_0$ שבה $f(x)\ne y_0$. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld