העתקה אוקלידית

העתקה אוקלידית המשלבת הזזה וסיבוב

טרנספורמציה אוקלידית או העתקה אוקלידית או איזומטריה אוקלידית היא העתקה גאומטרית של מרחב אוקלידי שמשמרת את המרחק האוקלידי תבנית:אנ בין כל שתי נקודות.

העתקה אוקלידית כוללת סיבוב, הזזה ושיקוף וכן רצף של פעולות אלה. שיקוף מוחרג לפעמים מההגדרה של העתקה אוקלידית על ידי דרישה שההעתקה תשמר גם את האוריינטציה של אובייקטים במרחב האוקלידי. (שיקוף אינה משמרת את האוריינטציה; למשל, היא תהפוך יד שמאל ליד ימין). כדי למנוע אי בהירות, העתקה המשמרת את האוריינטציה ידועה כתנועה קשיחה או כתנועה אוקלידית.

במרחב אוקלידי דו-ממדי, תנועה קשיחה היא הזזה או סיבוב. במרחב אוקלידי תלת-ממדי, כל תנועה קשיחה ניתנת לפירוק כהרכבה של סיבוב והזזה. למעשה, לפי משפט צ'סלס תבנית:אנ, כל תנועה קשיחה יכולה להתבטא כתנועת בורג, זאת אומרת תנועה שהיא הרכב של סיבוב והזזה למרחק (יכול להיות גם - 0) מסוים בציר הסיבוב.

לאחר תנועה קשיחה אובייקט ישמור על אותה צורה וגודל.

כל ההעתקות האוקלידיות הן דוגמאות להעתקות אפיניות. קבוצת כל ההעתקות האוקלידיות היא חבורה הקרויה חבורה אוקלידית תבנית:אנ, המסומנת E(n) עבור מרחבים אוקלידיים מממד n. קבוצת התנועות הקשיחות נקראת החבורה האוקלידית המיוחדת, ומסומנת SE(n).

בקינמטיקה, תנועות קשיחות במרחב אוקלידי תלת-ממדי משמשות לייצוג תזוזות של גופים קשיחים.

הגדרה פורמלית

העתקה אוקלידית מוגדרת כטרנספורמציה שכאשר היא פועלת על כל וקטור תבנית:Math, מייצרת וקטור תבנית:Math שעבר טרנספורמציה שצורתה

תבנית:Math

שבה תבנית:Math (כלומר, R הוא העתקה אורתוגונלית), ו-t הוא וקטור שנותן את ההזזה של הראשית.

תנועה קשיחה מקיימת גם

תבנית:Math

כלומר R אינו מייצר שיקוף, ומכאן שהוא מייצג סיבוב (העתקה אורתוגונלית משמרת אוריינטציה). ואכן, כאשר מטריצת העתקה אורתוגונלית מייצרת שיקוף, הדטרמיננטה שלה היא 1-.

נוסחת מרחק

מדידת מרחק בין נקודות, או מטריקה, נחוצה כדי לוודא שההעתקה היא קשיחה. נוסחת המרחק האוקלידי עבור תבנית:Math היא הכללה של משפט פיתגורס. הנוסחה נותנת את המרחק בריבוע בין שתי נקודות תבנית:Math ו-תבנית:Math כסכום ריבועי המרחקים לאורך צירי הקואורדינטות, כלומר

$d{(𝐗,𝐘)}^2={(X_1-Y_1)}^2+{(X_2-Y_2)}^2+\dots +{(X_n-Y_n)}^2=(𝐗-𝐘)\cdot (𝐗-𝐘)$

כאשר תבנית:Math ו-תבנית:Math והנקודה מייצגת מכפלה סקלרית.

בשימוש בנוסחת המרחק הזו, להעתקה קשיחה תבנית:Math יש את התכונה

$d(g(𝐗),g(𝐘){)}^2=d(𝐗,𝐘{)}^2$

הזזות והעתקות ליניאריות

הזזה של מרחב וקטורי מוסיף וקטור תבנית:Math לכל וקטור במרחב, כלומר זו ההעתקה

תבנית:Math.

קל להראות שמדובר בהעתקהה אוקלידית על ידי הוכחה שהמרחק בין הווקטורים לאחר ההזזה שווה למרחק בין הווקטורים המקוריים:

$d(𝐯+𝐝,𝐰+𝐝{)}^2=(𝐯+𝐝-𝐰-𝐝)\cdot (𝐯+𝐝-𝐰-𝐝)=(𝐯-𝐰)\cdot (𝐯-𝐰)=d(𝐯,𝐰{)}^2$.

העתקה ליניארית של מרחב וקטורי, תבנית:Math, משמרת צירוף ליניארי:

$L(𝐕)=L(a𝐯+b𝐰)=aL(𝐯)+bL(𝐰)$.

העתקה ליניארית תבנית:Math ניתנת לייצוג על ידי מטריצה, כלומר

תבנית:Math

כאשר תבנית:Math היא מטריצה בגודל תבנית:Math. העתקה ליניארית היא העתקה אוקלידית כאשר היא מקיימת את התנאי

$d([L]𝐯,[L]𝐰{)}^2=d(𝐯,𝐰{)}^2$

שהוא

$d([L]𝐯,[L]𝐰{)}^2=([L]𝐯-[L]𝐰)\cdot ([L]𝐯-[L]𝐰)=([L](𝐯-𝐰))\cdot ([L](𝐯-𝐰))$.

נשתמש בעובדה שניתן לכתוב את המכפלה הסקלרית של שני וקטורים v.w כפעולת המטריצה תבנית:Math, כאשר ה-T מציין שחלוף מטריצה, ומתקיים

$d([L]𝐯,[L]𝐰{)}^2=(𝐯-𝐰{)}^{𝖳}[L{]}^{𝖳}[L](𝐯-𝐰)$.

לפיכך, ההעתקה הליניארית L היא העתקה אוקלידית אם המטריצה שלה מקיימת את התנאי

$[L{]}^{𝖳}[L]=[I]$,

כאשר תבנית:Math היא מטריצת היחידה. מטריצות המקיימות תנאי זה קרויות מטריצות אורתוגונליות. תנאי זה מחייב למעשה את העמודות של המטריצות הללו להיות וקטורי יחידה אורתוגונליים.

מטריצות המקיימות תנאי זה יוצרות חבורה תחת הפעולה של כפל מטריצות, חבורה הנקראת החבורה האורתוגונלית של מטריצות n×n, ומסומנת O(n).

נחשב את הדטרמיננטה של התנאי למטריצה אורתוגונלית ונקבל

$\det ([L{]}^{𝖳}[L])=\det [L{]}^2=\det [I]=1$,

שמראה שהמטריצה תבנית:Math יכולה להיות עם דטרמיננטה 1+ או 1-. מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1- הן שיקוף, ואלה עם דטרמיננטה 1+ הן סיבוב. את קבוצת המטריצות האורתוגונליות ניתן לראות כמורכבת משתי יריעות ב-תבנית:Math המופרדות על ידי הקבוצה של המטריצות הסינגולריות.

הקבוצה של מטריצות הסיבוב קרויה "החבורה האורתוגונלית המיוחדת" ומסומנת תבנית:Math. זו דוגמה לחבורת לי משום שיש לה מבנה של יריעה.

קישורים חיצוניים

• נצה מובשוביץ-הדר, טרנספורמציות, חבורות וסימטריה או מהו סוד הסדרה: 7, 17, 230, 4783..., עלון למורה המתמטיקה – על"ה 35, תשס"ו-2005
• תבנית:MathWorld

• Rigid Transformations, MathBitsNotebook.com
• Heejun Park, Rigid Transformation in 3D Space: Translation and Rotation, Medium, May 5, 2024