הפרעה בין סימנים

תבנית:מקורות בתקשורת, הפרעה בין סימנים (באנגלית: Intersymbol interference, או בקיצור ISI) היא הפרעה לא רצויה בין סימנים (סימבולים מאופננים על גבי פולסים) המייצגים את המידע באות הספרתי הנקלט במשדר. הניסיונות להקטין את רוחב הסרט גורמים בהכרח למריחת הפולסים המייצגים את המידע הספרתי שמועבר באות בתחום הזמן. התוצאה יכולה להיות השפעת שארית הפולס (סיבית) הקודם על פענוח הסיבית הנוכחית. ישנם מסננים המאפשרים מצד אחד להקטין את רוחב הסרט ומצד שני למנוע ISI.

ייצוג מתמטי

בתקשורת ספרתית אות השידור $x(t)$ מיוצג באופן הבא:

$x(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k}p(t-kT)$

כאשר:

• $a_k$ הם סימבולי (סימני) השידור, לרוב מקונסטלציה מסוימת כגון QAM או PSK .
• $p(t)$ הוא פולס השידור. אפשר במקום צורת פולס יחידה לכל הסימבולים להשתמש בכמה צורות פולס, אך נניח לשם פשטות שמשתמשים בצורת פולס יחידה.
• $T$ הוא הזמן בין פולסי השידור.

ֿבמקלט הסינון האופטימלי יהיה באמצעות מסנן מתואם, כלומר $p^{*}(-t)$‘ ולאחר מכן דגימה בקצב $T$. האות המתקבל יהיה:

$y(t)=x(t)*p(-t+mT)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )p^{*}(\tau -t)d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{k=0}^{k=\mathrm{\infty }}{a}_{k}p(\tau -kT)p^{*}(\tau -t)d\tau =$$a_m\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -mT)p^{*}(\tau -t)d\tau +\sum _{k=0,k\ne m}^{k=\mathrm{\infty }}{a}_k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -kT)p^{*}(\tau -t)d\tau$

על מנת לקבל את הסימבול ה-$m$ יש לדגום בזמן $mT$:

$y(mT)=a_m\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -mT)p^{*}(\tau -mT)d\tau +\sum _{k=0,k\ne m}^{k=\mathrm{\infty }}{a}_k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -kT)p^{*}(\tau -mT)d\tau =$

$a_m{E}_p+\sum _{k=0,k\ne m}^{k=\mathrm{\infty }}{a}_k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -kT)p^{*}(\tau -mT)d\tau$

כאשר $E_p$ הוא אנרגיית הפולס.

הביטוי

$\sum _{k=0,k\ne m}^{k=\mathrm{\infty }}{a}_k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -kT)p^{*}(\tau -mT)d\tau$

נקרא הפרעה בין סימנים, מכיוון שהוא מייצג הפרעה של הסימנים $a_k$ לסימן $a_m$.

תנאי נייקוויסט לאיפוס ההפרעה בין הסימנים

על מנת שההפרעה בין הסימנים תהיה שווה לאפס נדרש שפולס השידור יקיים את התנאי הבא:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\tau -kT)p^{*}(\tau -mT)d\tau =\{\begin{array}{c}{E}_p,k=m\\ 0,otherwise\end{array}=E_p\delta [k-m]$

כאשר $\delta [n]$ היא הדלתא של קרונקר.

פולס המקיים את התכונה הזאת, כלומר מקיים את תנאי נייקוויסט נקרא פולס נייקוויסט. ניתן לנסח את התנאי במילים באופן הבא: פולס נייקוויסט הוא פולס שאורתוגונלי להזזות שלו בזמנים שהם כפולה שלמה של $T$.

תנאי נייקוויסט בתחום התדר

ניתן לנסח את תנאי נייקוויסט בתחום התדר. לאחר המסנן המתואם תגובת התדר של האות הרציף היא:

$ℱ(p(t-kT)*p^{*}(-t))=P(f)e^{-j2\pi fkT}{P}^{*}(f)=|P(f){|}^2{e}^{-j2\pi fkT}$

לפי משפט הדגימה תגובת התדר של האות הדגום היא:

$Y(e^{j2\pi f})=\frac{1}{T}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|P(\frac{f-m}{T}){|}^2{e}^{-j2\pi (\frac{f-m}{T})kT}=\frac{1}{T}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|P(\frac{f-m}{T}){|}^2{e}^{-j2\pi fk}$

וכעת נדרש שתגובת התדר של האות הדגום תהיה זהה לתגובת התדר של הדלתא של קרונקר:

$Y(e^{j2\pi f})=\frac{1}{T}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|P(\frac{f-m}{T}){|}^2{e}^{-j2\pi fk}=DTFT(E_p\delta [n-k])=E_p{e}^{-j2\pi fk}$

כלומר נדרש:

$\frac{1}{T}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|P(\frac{f-m}{T}){|}^2=E_p$

דוגמאות לפולסי נייקוויסט

1. פולס מלבני - $p(t)=\{\begin{array}{c}1,0\le t<T\\ 0,otherwise\end{array}$
2. כל פולס אשר מתאפס בתחום $t<0\cup t\ge T$
3. ֿפונקציית sinc - $p(t)=sinc(\frac{t}{T}),-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$
4. מסנן Root raised cosine

ראו גם

• דיאגרמת עין
• מסנן Raised cosine
• תורת הדגימה

לקריאה נוספת

• John Proakis, "Digital Communications", 4th edition, McGraw-Hill, 2000. ISBN 0-07-232111-3