התפלגות בטא

תבנית:נתוני התפלגות בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות בטא היא משפחה של התפלגויות רציפות, המוגדרות על הקטע [0,1] ובעלות שני פרמטרים המשפיעים על צורת ההתפלגות: α ו-β. קבוע הנרמול של פונקציית צפיפות ההסתברות הוא פונקציית בטא של הפרמטרים, ומכאן שמה של ההתפלגות.

להתפלגות בטא תפקידים רבים בבחינת התנהגות של משתנים מקריים המוגבלים למרווחים סופיים בדיסציפלינות רבות. הרחבה של ההתפלגות נקראת התפלגות דיריכלה, על שמו של המתמטיקאי הגרמני-צרפתי יוהאן דיריכלה.

מאפיינים

עבור $0 \leq x \leq 1$ ועבור הפרמטרים $α, β > 0$ , פונקציית הצפיפות של ההתפלגות מוגדרת כך:

\begin{matrix} f (x; α, β) & = \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{\int_{0}^{1} u^{α - 1} (1 - u)^{β - 1} d u} \\ = \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} \\ = \frac{1}{B (α, β)} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} \end{matrix}

פונקציית הצפיפות המצטברת מוגדרת על ידי הנוסחה:

F (x; α, β) = \frac{B (x; α, β)}{B (α, β)} = I_{x} (α, β)

כאשר $B (x; α, β)$ היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

התוחלת של ההתפלגות היא פונקציה של היחס β/α:

\begin{matrix} μ = E [X] & = \int_{0}^{1} x f (x; α, β) d x \\ = \int_{0}^{1} x \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)} d x \\ = \frac{α}{α + β} \\ = \frac{1}{1 + \frac{β}{α}} \end{matrix}

כאשר הפרמטרים שווים, התוחלת שווה ל-1/2, מה שאומר כי במקרה זה ההתפלגות היא סימטרית והתוחלת היא מרכז התפלגות.

השונות של ההתפלגות מוגדרת כך:

var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

כאשר $α = β$ , השונות היא:

var (X) = \frac{1}{4 (2 α + 1)},