התפלגות דיריכלה

תבנית:נתוני התפלגות בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות דיריכלה (על שם Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), מסומנת לעיתים קרובות $\mathrm{Dir}(𝜶)$, היא משפחה של התפלגויות רב-משתניות רציפות המוגדרות על ידי וקטור $𝜶$ של ממשיים חיוביים. זוהי הכללה רב-משתנית של התפלגות ביתא, ומכאן שמה החלופי - התפלגות בטא רב-משתנית (MBD). התפלגות דיריכלה משמשת בדרך כלל כהתפלגות פריורית בסטטיסטיקה בייסיאנית, ולמעשה, התפלגות דיריכלה היא ההתפלגות הצמודה של ההתפלגות הקטגוריאלית וההתפלגות המולטינומית.

ההכללה האינסוף-ממדית של התפלגות דיריכלה היא תהליך דיריכלה.

הגדרות

פונקציית צפיפות הסתברות

הדגמה כיצד הלוג של פונקציית הצפיפות משתנה כאשר K = 3 ואנו משנים את הווקטור α מ- α = (0.3, 0.3, 0.3) עד (2.0, 2.0, 2.0), תוך שמירה על כך שכל הרכיבים של $\alpha$ נשארים שווים זה לזה.

תבנית:סימון מתמטי להתפלגות דיריכלה מסדר $K\ge 2$ עם פרמטרים $0<{\alpha }_1,\mathrm{...}{\alpha }_K$, יש פונקציית צפיפות, לפי למידת לבג במרחב האוקלידי ${ℝ}^{K-1}$, המתוארת באמצעות:

$f(x_1,\dots ,x_K;{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)=\frac{1}{\mathrm{B}(𝜶)}\prod _{i=1}^K{x}_i^{{\alpha }_i-1}$

כאשר $\{x_k{\}}_{k=1}^{k=K}$ שייכים לסימפלקס $K-1$ תקני, או באופן שקול, לכל $i\in \{1,\dots ,K\}$, ${\sum }_{i=1}^K{x}_i=1\text{, }{x}_i\in [0,1]$.

הקבוע המנרמל הוא פונקציית בטא רב-משתנית, שניתן לבטאו במונחים של פונקציית גמא:

$\mathrm{B}(𝜶)=\frac{\prod _{i=1}^K\mathrm{\Gamma }({\alpha }_i)}{\mathrm{\Gamma }\left(\sum _{i=1}^K{\alpha }_i\right)},𝜶=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)$

תומך

התומך של התפלגות דיריכלה היא קבוצת וקטורים $K$ ממדיים $𝒙$ שהערכים שלהם הם מספרים ממשיים בקטע [0,1] כך ש $\Vert 𝒙{\Vert }_1={\mathrm{\Sigma }}_i{x}_i=1$, כלומר סכום הקואורדינטות שווה ל-1. למשל עבור $K=3$ התומך הוא משולש שווה-צלעות המשוכן במרחב התלת-ממדי, שקודקודיו בנקודות (1,0,0), (0,1,0) ו (0,0,1), כלומר נמצאים על צירי הקואורדינטות במרחק 1 מהראשית.

תכונות

מומנטים מסדר שני

יהי $X=(X_1,\dots ,X_K)\sim \mathrm{Dir}(𝜶)$. ויהי

${\alpha }_0=\sum _{i=1}^K{\alpha }_i$ .

אזי על פי

$\mathrm{E}[X_i]=\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_0},$

$\mathrm{Var}[X_i]=\frac{{\alpha }_i({\alpha }_0-{\alpha }_i)}{{\alpha }_0^2({\alpha }_0+1)}.$

פרט לכך, אם $i\ne j$ אז

$\mathrm{Cov}[X_i,X_j]=\frac{-{\alpha }_i{\alpha }_j}{{\alpha }_0^2({\alpha }_0+1)}$ .

מטריצת הקוויראנס היא אם כך סימטרית והפיכה.

שכיח

השכיח של ההתפלגות הוא הווקטור $(x_1,\dots ,x_k)$ כאשר

$x_i=\frac{{\alpha }_i-1}{{\alpha }_0-K},{\alpha }_i>1$ .

התפלגות שולית

ההתפלגות השוליות הן התפלגויות בטא

$X_i\sim \mathrm{Beta}({\alpha }_i,{\alpha }_0-{\alpha }_i)$ .