התפלגות משולשת

תבנית:נתוני התפלגות בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות משולשת היא התפלגות רציפה עם גבול תחתון a, גבול עליון b ושכיח c, כך שמתקיים: $a<b$ ו-$a\le c\le b$.

מאפיינים ושימושים

ההתפלגות המשולשת מייצגת התפלגות בסיסית המבוססת רק על חסם עליון, חסם תחתון ושכיח. מהסיבות הללו, יש המכנים אותה "התפלגות של חוסר נתונים". לרוב משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר אין מספיק נתונים וההתפלגות אינה אחידה. אולם בעיקר משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר היחס בין המשתנים ידוע. בהתפלגות משולשת ניתן גם בקלות לחשב את ההסתברות של קבוצה בתחום, על ידי חישוב השטח שמתחת לעקומה הבנוי ממשולש. בשל מאפיינים אלו, משתמשים לרב בהתפלגות משולשת בסימולציות ובתהליכי קבלת החלטות. משתמשים גם בהתפלגות משולשת בשילוב התפלגות בטא בניהול פרויקטים.

מקרים מיוחדים

קיימים מקרים מיוחדים בהם הנקודות הן ידועות ויש שימוש בערך מסוים של c.

שתי נקודות ידועות

ההתפלגות נהיית יותר פשוטה כאשר a=c או b=c. לדוגמה אם a=0 ו-b=c=1 אז בקטע שבו $0\le x\le 1$, פונקציית הצפיפות ופונקציית ההצטברות מוגדרות להיות:

$\begin{array}{cc}f(x)& =2x\\ F(x)& =x^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}E(X)& =\frac{2}{3}\\ \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)& =\frac{1}{18}\end{array}$

התפלגות של ממוצע שני משתנים עם התפלגות אחידה

בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X₁, X₂ שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע $[0,1]$, אז ההתפלגות של X = (X₁ + X₂)/2 מתאימה למקרה שבו $a=0$,תבנית:כ $b=1$ ו-$c=0.5$.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}4x& \text{for }0\le x<\frac{1}{2}\\ 4-4x& \text{for }\frac{1}{2}\le x\le 1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{for }x<0\\ 2x^2& \text{for }0\le x<\frac{1}{2}\\ 1-2(1-x{)}^2& \text{for }\frac{1}{2}\le x<1\\ 1& \text{for }1\le x\le 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}E(X)& =\frac{1}{2}\\ \mathrm{Var}(X)& =\frac{1}{24}\end{array}$

התפלגות המרחק בין שני משתנים מקריים אחידים

בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X₁, X₂ שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע $[0,1]$, אז ההתפלגות של $X=|X_1-X_2|$ מתאימה למקרה שבו a = 0,תבנית:כ b = 1 ו-c = 0.

$\begin{array}{cc}f(x)& =2-2x,\text{ for }0\le x<1\\ F(x)& =2x-x^2,\text{ for }0\le x<1\\ E(X)& =\frac{1}{3}\\ \mathrm{Var}(X)& =\frac{1}{18}\end{array}$

יצירת משתנים מקריים בעלי התפלגות משולשת

כאשר נתון משתנה מקרי U שמתפלג באופן אחיד על הקטע $(0,1)$, אז (בעזרת דגימה מהעתקה הופכית) המשתנה

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{cc}X=a+\sqrt{U(b-a)(c-a)}& \text{ for }0<U<F(c)\\ & \\ X=b-\sqrt{(1-U)(b-a)(b-c)}& \text{ for }F(c)\le U<1\end{array}\end{array}$

כאשר F היא פונקציית ההתפלגות של התפלגות משולשת עם פרמטרים a,תבנית:כ b ו-c, ומכאן שמתקיים F(c) = (c-a)/(b-a).

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld