התפלגות שולית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות השולית מתארת את ההתפלגות של תת קבוצה ממש של קבוצה של שניים או יותר משתנים מקריים, ללא התייחסות לערכים של יתר המשתנים המקריים. כאשר דנים בהתפלגויות בדידות, שניתנות להצגה כטבלה, ניתן לחשב את ערכי ההתפלגות השולית על ידי סיכום ערכים בטבלה לאורך שורות או עמודות, וכתיבת הסכום בשולי הטבלה. זהו המקור לשם התפלגות שולית. במקרים רבים מתייחסים להתפלגות השולית כהתפלגות של תת־קבוצה הכוללת משתנה מקרי אחד.

במחקר תאורטי, שבו עוסקים בהתפלגויות של משתנים מקריים רבים, בדידים או רציפים, יש חשיבות רבה לחישוב של התפלגויות שוליות. ואכן מושג זה הוא מרכזי בתחומים של הסקה סטטיסטית ובתחומים רבים של למידת מכונה כמו רשתות ביסיאניות, מודלים מרקובים חבויים, מודלים של משפחה מעריכית, מודל הקצאת דיריכלת סמויה תבנית:אנ ועוד.

הגדרה

פונקציית הסתברות שולית - שני משתנים מקריים בדידים

תהי $p$ פונקציית התפלגות משותפת של שני משתנים מקריים בדידים, תבנית:Mvar ו־תבנית:Mvar. ההתפלגות השולית של המשתנה תבנית:Mvar, $p_X(x)$ היא התפלגות ההסתברות של המשתנה המקרי תבנית:Mvar כאשר מסכמים עבור כל ערך של תבנית:Mvar את כל ערכי התפלגות ההסתברות המשותפת של כל הערכים של תבנית:Mvar:

$p_X(x_i)=\sum _{j}p(x_i,y_j)$

ניתן באותו אופן לקבל את $p_Y$, ההתפלגות השולית של תבנית:Mvar.

ניתן לכתוב את ההסתברות השולית גם כתוחלת של ההסתברויות המותנות, למשל: $$p_X(x)=\sum _j{p}_{X\mid Y}(x\mid y)p_Y(y_j)={\mathrm{E}}_Y[p_{X\mid Y}(x\mid y)]$$

דוגמה

הטבלה להלן מתארת ההתפלגות המשותפת של שני משתנים מקריים בדידים תבנית:Mvar ו־תבנית:Mvar, שאינם בלתי תלויים. ערכי הסתברויות השוליות של תבנית:Mvar ו־תבנית:Mvar מופיעות בשול התחתון ובשול השמאלי בהתאמה.

תבנית:מימין לשמאל	x1	x2	x3	x4	↓ pY(y)
y1	$\frac{4}{32}$	$\frac{2}{32}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{8}{32}$
y2	$\frac{3}{32}$	$\frac{6}{32}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{15}{32}$
y3	$\frac{9}{32}$	$0$	$0$	$0$	$\frac{9}{32}$
pX(x) ←	$\frac{16}{32}$	$\frac{8}{32}$	$\frac{4}{32}$	$\frac{4}{32}$	$\frac{32}{32}$

הקשר לאי תלות של משתנים מקריים

ההתפלגות המשותפת של שני משתנים מקריים בלתי תלויים היא המכפלה של ההתפלגויות השוליות שלהן, כלומר $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$ לכל $x$ ו־$y$ .

פונקציית הסתברות שולית - שני משתנים מקריים רציפים

דגימות רבות מהתפלגות נורמלית בשני משתנים. ההתפלגויות השוליות מוצגות באדום וכחול. ההתפלגות השולית של X משוערכת על ידי יצירת היסטוגרמה של קואורדינטות X ללא התחשבות בקואורדינטות Y, ולהפך.

עבור שני משתנים מקריים רציפים X ו־Y עם פונקציית התפלגות משותפת $f(x,y)$, פונקציית צפיפות ההסתברות השולית של המשתנה המקרי X מתקבלת על ידי אינטגרציה של תבנית:Mvar על פני Y. באותו אופן מתקבלת ההתפלגות השולית של המשתנה המקרי Y. כלומר

$f_X(x)=\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy$

$f_Y(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$

כאשר $[a,b]$, ו $[c,d]$ הם התומכים של X ו- Y בהתאמה.

פונקציית התפלגות מצטברת שולית

ניתן למצוא את פונקציית ההתפלגות המצטברת השולית מפונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת. נזכור כי ההתפלגות המצטברת מקיימת:

• עבור משתנים מקריים בדידים $$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$$
• עבור משתנים מקריים רציפים $$F(x,y)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{c}{\overset{y}{\int }}f(x^{\prime },y^{\prime })d{y}^{\prime }d{x}^{\prime }$$

אם X ו־Y מקבלים ערכים בתחומים [ a, b ] ו־[ c, d ] בהתאמה $F_X(x)=F(x,d)$ ו־$F_Y(y)=F(b,y)$ . אם d הוא $\mathrm{\infty }$, הביטוי להתפלגות המצטברת $F_X(x)$ הופך לגבול $F_X(x)=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x,y)$ . כך גם עבור $F_Y(y)$ .

משתנים מרובים

ההכללה למקרה של התפלגויות משותפות של משתנים מרובים היא טבעית. אם X₁, X₂ ,..., X_n הם משתנים מקריים בדידים, אזי פונקציית ההסתברות השולית שלהם תהיה $$p_{X_i}(k)=\sum p(x_1,x_2,\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_n);$$ אם X₁, X₂ ,..., X_n הם משתנים מקריים רציפים, אזי פונקציית צפיפות ההסתברות השולית של המשתנה X_i תתקבל על ידי אינטגרציה על כל המשתנים האחרים $$f_{X_i}(x_i)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_{i-1}d{x}_{i+1}\cdots d{x}_n.$$

ראו גם

• התפלגות הסתברות משותפת
• התפלגות מותנית