חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב.תבנית:הערה המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

ניסוח המשפט

נוסח ראשון: יהי $(X,ℱ,\mathbb{P})$ מרחב הסתברות, ותהי ${\left\{X_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.תבנית:הערה

נגדיר "מאורע זנב" $A\in ℱ$ להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך ${\left\{X_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$.תבנית:הערה

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב $A$, מתקיים $\mathbb{P}\left(A\right)=0$ או $\mathbb{P}\left(A\right)=1$.

נוסח שני: יהי $(X,ℱ,\mathbb{P})$ מרחב הסתברות, ותהי ${\left\{F_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-$ℱ$ ובלתי-תלויות.תבנית:הערה

עבור $n=0,1,2,\mathrm{...}$, נגדיר ${𝒯}_n=\sigma \left(\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{F}_i\right)$, ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, $𝒯=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{𝒯}_n$.תבנית:הערה מאורעות $𝒯$ מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע $A\in 𝒯$ מתקיים $\mathbb{P}\left(A\right)=0$ או $\mathbb{P}\left(A\right)=1$.

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת $F_i=\sigma \left(X_i\right)$, כלומר $F_i$ היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה $X_i$ מדיד.

הוכחה

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

למה: תהי $𝒜$ אלגברה של קבוצות על $X$. תהי $ℱ=\sigma \left(𝒜\right)$.

אזי לכל $A\in ℱ$, לכל $ϵ>0$ קיימת $B\in 𝒜$, כך שמתקיים $\mathbb{P}\left(A\mathrm{△}B\right)<ϵ$.

הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את $𝒜$, ולכן היא מכילה את $ℱ$.

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור $n=1,2,3,\mathrm{...}$ נגדיר ${𝒢}_n=\sigma (F_1,\mathrm{...},F_{n-1})$, ונגדיר $𝒢=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{𝒢}_n$. נשים לב כי $𝒢$ היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים ${𝒯}_1=\sigma \left(𝒢\right)$.

בהינתן מאורע $A\in 𝒯$, מהלמה נובע כי לכל $ϵ>0$ יש מאורע $B\in 𝒢$ שעבורו מתקיים $\mathbb{P}\left(A\mathrm{△}B\right)<ϵ$, כלומר $\mathbb{P}\left(A\right)-ϵ<\mathbb{P}\left(B\right)<\mathbb{P}\left(A\right)+ϵ$.

יהי $N$ שעבורו $B\in {𝒢}_N$. נשים לב כי $A\in 𝒯\subset {𝒯}_{N+1}$, ולכן $A,B$ בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי $\mathbb{P}\left(A\right)-ϵ<\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}\left(A\right)\cdot \mathbb{P}\left(B\right)<\mathbb{P}\left(A\right)\cdot (\mathbb{P}\left(A\right)+ϵ)$.

אבל $ϵ$ שרירותי, ולכן נובע כי $\mathbb{P}\left(A\right)=\mathbb{P}{\left(A\right)}^2$, כלומר $\mathbb{P}\left(A\right)=0$ או $\mathbb{P}\left(A\right)=1$.

דוגמאות

נתבונן במרחב $X={\{0,1\}}^{\mathbb{N}}$, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה $C(a,n)=\{𝐱\in X\mid x_n=a\}$ (כאשר $x_n$ הוא הקואורדינטה ה-$n$ של $𝐱$), עבור $a\in \{0,1\}$ כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות $\mathbb{P}\left(C(a,n)\right)=\frac{1}{2}$ לכל $a$ ולכל $n$. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור $i=1,2,3,\mathrm{...}$ נגדיר $F_i=\sigma \left(C(0,i)\right)$, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים $X_i\left(𝐱\right)=\frac{x_i}{i}$.

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:

• $\{𝐱\in X\mid \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i\left(𝐱\right)<\mathrm{\infty }\}$
• $\{𝐱\in X\mid \underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_i\left(𝐱\right)\text{exists}\}$
• $\{𝐱\in X\mid \underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{X}_i\left(𝐱\right)<c\}$ לאיזשהו $c\in ℝ$

היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי

באופן כללי יותר, אם ${\left\{A_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע $\left\{\text{infinitely many of the }{A}_i\text{ occur}\right\}=\underset{i}{lim\; sup}\left(A_i\right)=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$ הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(A_i\right)$ מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות $\mathbb{P}\left(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{A}_i\right)=1$.

לקריאה נוספת

• אנדריי קולמוגורוב, Foundations of the Theory of Probability,תבנית:כ 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"