מספר אור

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

$\frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2$

ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:

$\frac{12}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}=5$

גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו $M$, מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל-$M$ עצמו.תבנית:הערה מכאן נובע ש-$M$ הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את $M$.

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם $M$ הוא בדיוק $2M$. לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא $\frac{2M}{d(M)}$, כאשר $d(M)$‎ הוא מספר המחלקים של $M$. לכל $M$, $d(M)$ הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם $M$ הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק $m$ של $M$, מחלק שונה ממנו - $\frac{M}{m}$. אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה $q^{\alpha }$, כאשר $\alpha \equiv 1(\mathrm{mod}4)$. לכן, עבור מספר מושלם כלשהו $M$, $d(M)$ הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא $\frac{2M}{d(M)}$. לכן, $M$ הוא מספר אור-הרמוני.

אור שִׁיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב

W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-10⁷,תבנית:הערה ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen,תבנית:כ Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×10⁹, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות

• אם $M$ הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז $M=1$ או $M=6$.תבנית:הערה
• אם $M$ הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז $M$ הוא לא אור-הרמוני.תבנית:הערה
• אם $M$ הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז $M$ הוא מספר מושלם זוגי.תבנית:הערה

ראו גם

• שבר יסודי

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:OEIS