מרחק מעגל גדול

תרשים המאייר מרחק מעגל-גדול (מצויר באדום) בין שתי נקודות P ו-Q על פני הכדור.

מרחק המעגל הגדול או המרחק הספירי הוא המרחק בין שתי נקודות על ספירה, הנמדד לאורך קשת המעגל הגדול ביניהן. קשת זו היא הדרך הקצרה ביותר בין שתי הנקודות על פני הספירה. (לשם השוואה, הנתיב הקצר ביותר שעובר דרך פנים הכדור הוא המיתר בין הנקודות.)

על משטח עקום, המושג קווים ישרים מוחלף במושג כללי יותר של מסילה גיאודזית, מסילה שהיא ישרה מקומית ביחס למשטח. על הספירה המסילות הגיאודזיות הן מעגלים גדולים, שמרכזם הוא מרכז הכדור.

כל שתי נקודות על הספירה שאינן נקודות אנטיפודיות שוכנות על פני מעגל גדול ייחודי, שהנקודות מפרידות לשתי קשתות; מרחק המעגל הגדול בין הנקודות הוא אורך הקשת הקצרה יותר. אורך הקשת פרופורציוני לזווית המרכזית בין הנקודות. אם זווית זו נמדדת ברדיאנים מכפלתה ברדיוס הכדור נותנת את אורך הקשת.

כל שתי נקודות אנטיפודיות שוכנות על אינסוף מעגלים גדולים, שכל אחד מהם מתחלק לשתי קשתות שוות, שאורכן [[פאי|תבנית:נוסחה]] מוכפל ברדיוס הספירה.

נוסחאות

המחשה של הזווית המרכזית, Δσ, בין שתי נקודות, P ו-Q. λ ו-φ הן זוויות האורך והרוחב של P בהתאמה

יהיו ${\lambda }_1,{\varphi }_1$ ו ${\lambda }_2,{\varphi }_2$ קוי האורך והרוחב הגאוגרפי של שתי נקודות 1 ו-2, ויהיו $\mathrm{\Delta }\lambda ,\mathrm{\Delta }\varphi$ ההפרשים המוחלטים ביניהן; אז $\mathrm{\Delta }\sigma$, הזווית המרכזית בין הנקודות, ניתנת על ידי משפט הקוסינוסים של הגיאומריה הספירית, כאשר אחד הקטבים משמש כנקודת עזר שלישית על הספירה

$\mathrm{\Delta }\sigma =\arccos (\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2+\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2\cos \mathrm{\Delta }\lambda )$ .

בהינתן זווית זו ברדיאנים, ניתן לחשב את אורך הקשת $d$ על ספירה ברדיוס r

$d=r\mathrm{\Delta }\sigma$ .

קשר בין הזווית המרכזית ואורך המיתר

הזווית המרכזית $\mathrm{\Delta }\sigma$ קשורה באורך המיתר של כדור יחידה $\mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}$ :

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\sigma & =2\arcsin \frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}}{2}\\ \mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}& =2\sin \frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{2}\end{array}$

למרחקים קצרים ( $|\mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}|\ll 1$ ) ניתן לקרב ביטוי זה על ידי שימוש בפיתוח טיילור:

$\mathrm{\Delta }\sigma =\mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}(1+\frac{1}{24}{\left(\mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}\right)}^2+\cdots ).$

נוסחאות חישוביות

במערכות מחשב עם יצוג נקודה צפה בעל דיוק נמוך, נוסחת החוק הכדורית של הקוסינוס עלולה להיות בעלת שגיאות עיגול משמעותית עבור מרחקים קטנים (שתי הנקודות שהמרחק ביניהן על פני כדור הארץ הוא קילומטר אחד, הקוסינוס של הזווית המרכזית ביניהן קרוב ל-0.99999999). במערכות מודרניות, שבהן משתני נקודה הצפה מיוצגים בעזרת 64 סיביות, לנוסחת החוק הקוסינוס הספירית, אין שגיאות עיגול משמעותיות למרחקים גדולים מכמה מטרים על פני כדור הארץ. נוסחת האברסין יותר יציבה נומרית למרחקים קטנים, מכיוון שהיא מתבססת על אורך המיתר:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\sigma & =\mathrm{archav}(\mathrm{hav}\left(\mathrm{\Delta }\varphi \right)+(1-\mathrm{hav}(\mathrm{\Delta }\varphi )-\mathrm{hav}({\varphi }_1+{\varphi }_2))\mathrm{hav}\left(\mathrm{\Delta }\lambda \right))\end{array}$ .

מבחינה היסטורית, השימוש בנוסחא זו הפך פשוט בזכות הזמינות של טבלאות לפונקציית האברסין : $\mathrm{hav}\theta ={\sin }^2\frac{\theta }{2}$ ו $\mathrm{archav}x=2\arcsin \sqrt{x}$ .

להלן הנוסחה המקבילה, המבטאת את אורך המיתר במפורש כפונקציה של $\mathrm{\Delta }\lambda ,\mathrm{\Delta }\varphi$:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{\sigma }_{\text{c}}& =2\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{2}\right)+\cos {\varphi }_1\cdot \cos {\varphi }_2\cdot {\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{2}\right)}\\ & =2\sqrt{{(\sin \frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{2}\cos {\varphi }_{\text{m}})}^2+{(\cos \frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{2}\sin \frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{2})}^2},\end{array}$

כאשר ${\varphi }_{\text{m}}=\frac{1}{2}({\varphi }_1+{\varphi }_2)$ .

למרות שנוסחה זו מדויקת לרוב המרחקים בכדור, גם היא סובלת משגיאות עיגול במקרה הפרטי של נקודות אנטיפודיות. נוסחה המדויקת לכל המרחקים היא המקרה הפרטי של נוסחת וינסנטיתבנית:אנ עבור אליפסואיד בעל צירים ראשיים ומשניים שווים:

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld