פונקציה אדיטיבית

באלגברה, פונקציה אָדִיטִיבִית (או פונקציה חיבורית) היא פונקציה ששומרת על פעולת החיבור, כלומר פונקציה $f:A\to B$ מוגדרת כאדטיבית אם היא מקיימת את המשוואה $\mathrm{\forall }a,b\in A:f(a+b)=f(a)+f(b)$, הנקראת המשוואה הפונקציונלית של קושי. בתורת המספרים, פונקציה אריתמטית נקראת אדיטיבית אם היא מקיימת את השוויון $f(ab)=f(a)+f(b)$.

פונקציה אדיטיבית שהיא גם הומוגנית מסדר ראשון נקראת "פונקציה ליניארית".

באופן פורמלי, זהו מקרה פרטי של הומומורפיזם בין הקבוצות תחת פעולת החיבור: $\phi :(A,+)\to (B,+)$.

דוגמאות

• כל פונקציה ליניארית היא אדיטיבית.
• מכפלה פנימית היא אדיטיבית בשני המשתנים. בנוסף, היא הומוגנית מסדר ראשון במשתנה הראשון, ולכן גם ליניארית בו. מעל הממשיים, היא הומוגנית (וליניארית) גם במשתנה השני, אך מעל המרוכבים, היא לא הומוגנית, אלא "הומוגנית עד כדי הצמדה", ולכן אינה ליניארית בו.
• פונקציית ההצמדה $f(T)=T^{\star }$, המקבלת העתקה ליניארית (או מטריצה) ומחזירה את ההעתקה הצמודה לה (או את המטריצה הצמודה לה), אדיטיבית כאשר $T$ מעל שדה אוקלידי, וליניארית אם $T$ מעל שדה הממשיים.
• לכל $n\in \mathbb{Z}$, פונקציה המקבלת פונקציה מרוכבת ומחזירה את מקדם פורייה ה-$n$ שלה (כלומר הפונקציה: $f_n(h)=\hat{h}(n)$ כאשר $h:ℝ\to ℂ$), היא פונקציה אדיטיבית.

ראו גם

• המשוואה הפונקציונלית של קושי
• פונקציה ליניארית
• פונקציה הומוגנית
• פונקציה כפלית