פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר $x=0$ (כלומר לציר ה-$Y$).

מקור השם

המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727,תבנית:הערה והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814.תבנית:הערה הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה $f(x)=x^n$ היא פונקציה זוגית כאשר $n$ זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר $n$ אי-זוגי.תבנית:הערהתבנית:הערה

פונקציה זוגית

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר $f(x)=f(-x)$.

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-$Y$.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

• 
  $f(x)=a$ תבנית:ש פונקציה קבועה
• 
  $f(x)=x^2$תבנית:ש פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)
• 
  $f(x)=\cos (x)$תבנית:ש קוסינוס
• 
  $f(x)=|x|$תבנית:ש ערך מוחלט

פונקציה אי-זוגית

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר $f(-x)=-f(x)$.

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-$X$ (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של $180^{\circ }$ סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

• 
  $f(x)=x$תבנית:ש פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)
• 
  $f(x)=x^3$תבנית:ש חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)
• 
  $f(x)=\sin (x)$תבנית:ש סינוס
• 
  $f(x)=\frac{1}{x}$ תבנית:ש מספר הופכי

פונקציה כללית

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית: $f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)$

וזאת כאשר: $f_{\text{even}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ ו $f_{\text{odd}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
$f_{\text{even}}(x)=\frac{f(x)+f^{\ast }(-x)}{2}$ ו-$f_{\text{odd}}(x)=\frac{f(x)-f^{\ast }(-x)}{2}$
או:
$f_{\text{even}}(x)=f_{\text{even}}^{\ast }(-x)$ ו-$f_{\text{odd}}(x)=-f_{\text{odd}}^{\ast }(-x)$

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונות

• סכום פונקציות:
  • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-$L^1$ לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
  • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-$L^1$ לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
• מכפלת פונקציות:
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
• חלוקת פונקציות:
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה $x^{-1}$ היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.

• הרכבת פונקציות:
  • הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
  • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
  • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
• גזירת פונקציה:
  • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
  • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.

הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה $x_0$, היא הגבול $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)$.

ניתן להגדיר את $\mathrm{\Delta }x$ כ-$x-x_0$ ואת $\mathrm{\Delta }y$ כ-$f(x)-f(x_0)$

כעת נציב בגבול: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. נראה שאם נחליף את הסימן של $x$ ושל $x_0$ נקבל לפונקציה זוגית, $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{(-x)-(-x_0)}$ כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{(-f(x))-(-f(x_0))}{(-x)-(-x_0)}$ כלומר שסימן הגבול נשמר.

• אינטגרל של פונקציה:
  • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
• תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה $x=0$ חייבת לקיים $f(0)=0$.