פונקציית ויירשטראס

פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.

לפי משפט הקטגוריה של בר, אוסף הפונקציות הרציפות $f : ℝ \to ℝ$ הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו מצביע על פונקציה מסוימת כזו. הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה כזו היא זו שנתן קארל ויירשטראס בשנת 1872 (היסטורית, הדוגמה של ויירשטראס קדמה להוכחת משפט הקטגוריה).

הגדרת הפונקציה היא: $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} \cos (p^{n} π x)$ כאשר $7 \leq p$ שלם אי-זוגי ו- $\frac{2 + 3 π}{2 p} < a < 1$ .

גרף עבור פונקציית ויירשטראס $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} 0 . 5^{n} \cos (2 1^{n} π x)$

פונקציית ויירשטראס מורכבת מאינסוף עותקים של הרמוניה בסיסית, העוברת שני שינויי סקלה (במשרעת ובתדירות).

גרף הפונקציה הוא פרקטל, שממד האוסדורף שלו הוא $2 + \log_{p} (a)$ .

ניתן להוכיח שהפונקציה רציפה, משום שהטור מתכנס במידה שווה (ממבחן M של ויירשטראס), וכל סכום חלקי מהווה פונקציה רציפה (ולכן נוכל להשתמש במשפט הגבול האחיד תבנית:אנ, הגורס כי אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, אז הפונקציה הגבולית רציפה). ההוכחה שהפונקציה אינה גזירה באף נקודה מורכבת יותר.