פורטל:מתמטיקה/משפטים והשערות/11

אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה $a_1,\dots ,a_n$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים $\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots +\frac{1}{a_n}}\le (a_1\cdots a_n{)}^{1/n}\le \frac{a_1+\dots +a_n}{n}$, כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $a_1,a_2,\dots ,a_n$ שווים זה לזה. תבנית:עמ